Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

M/M/c-Warteschlange

Die M/M/c-Warteschlange erweitert das Ein-Server-Modell auf mehrere identische Server, die sich eine Warteschlange teilen. Sie ist das Arbeitspferd der Personal- und Kapazitätsplanung: Aus der Ankunftsrate, der Bedienrate pro Server und der Serveranzahl sagt sie voraus, wie oft Anforderungen warten müssen, wie lange sie warten und wie lang die Warteschlange wird. Der Rechner liefert all dies zusammen mit der Auslastung je Server.

Was der Name bedeutet

Die Notation folgt der Kendall-Klassifikation. Das erste M sagt, dass Ankünfte markovsch sind – sie folgen einem Poisson-Prozess, sodass jede Ankunft unabhängig ist. Das zweite M sagt, dass die Bedienzeiten exponentialverteilt sind. Das c ist die Serveranzahl. M/M/c bedeutet also „zufällige Ankünfte, zufällige Bedienung, c Server, eine gemeinsame unbegrenzte Warteschlange, Bearbeitung in Reihenfolge“. Für $c = 1$ geht es in die gewöhnliche M/M/1-Warteschlange über.

Auslastung und angebotene Last

Zwei Größen steuern alles. Die angebotene Last (in Erlang) ist die pro Bedienkapazität eintreffende Arbeit:

$a = \dfrac{\lambda}{\mu}$

und die Auslastung ist diese Last, verteilt auf die Server:

$\rho = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\lambda}{c\,\mu}$

wobei $\lambda$ die Ankunftsrate, $\mu$ die Bedienrate pro Server und $c$ die Serveranzahl ist. Das System ist nur stabil, wenn $\rho < 1$; andernfalls treffen Anforderungen schneller ein, als die Server sie abarbeiten können, und der Rückstau wächst unbegrenzt.

Die Erlang-C-Formel

Die zentrale Ausgabe ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine eintreffende Anforderung alle Server belegt vorfindet und warten muss. Das ist die Erlang-C-Formel:

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{a^{n}}{n!} + \dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

Ist die Wartewahrscheinlichkeit bekannt, ergeben sich die stationären Mittelwerte:

$L_q = \dfrac{P_{\text{wait}}\,\rho}{1 - \rho}, \qquad W_q = \dfrac{L_q}{\lambda}$

$L = L_q + a, \qquad W = W_q + \dfrac{1}{\mu}$

Dabei ist $L_q$ die mittlere Anzahl Wartender, $W_q$ die mittlere Wartezeit vor der Bedienung, $L$ die mittlere Anzahl im System und $W$ die mittlere Antwortzeit.

Rechenbeispiel

Ein Service-Desk erhält 5 Tickets pro Minute ($\lambda = 5$), und jeder seiner 3 Mitarbeiter löst 2 pro Minute ($\mu = 2$, $c = 3$). Die angebotene Last ist $a = 5/2 = 2{,}5$ Erlang und die Auslastung $\rho = 2{,}5/3 \approx 0{,}833$. Die Erlang-C-Formel ergibt:

Etwa 70 % der eintreffenden Tickets warten also, die Warteschlange enthält im Mittel rund 3,5 Tickets, und die typische Wartezeit beträgt etwa 0,7 Minuten, bis ein Mitarbeiter frei ist. Ein vierter Mitarbeiter bei gleicher Last senkt Wartewahrscheinlichkeit und Warteschlange deutlich – genau diese Abwägung soll das Modell sichtbar machen.

Bündeln schlägt Aufteilen

Ein zentrales Ergebnis der Mehr-Server-Warteschlangentheorie ist, dass eine gemeinsame Schlange vor $c$ Servern besser abschneidet als $c$ getrennte Ein-Server-Warteschlangen mit gleicher Gesamtkapazität. Das Bündeln glättet die Momente, in denen ein Server gerade leerläuft, während ein anderer überlastet ist, sodass die mittlere Wartezeit sinkt. Deshalb ist eine einzige Ticket-Schlange für viele Mitarbeiter besser, als jedem Mitarbeiter ein eigenes Postfach zuzuweisen. Dieselbe Mittelungsidee liegt Little'sches-Gesetz-Rechner zugrunde, das Nebenläufigkeit, Durchsatz und Latenz ohne Annahme einer bestimmten Verteilung verbindet; den Ein-Server-Fall behandelt M/M/1-Warteschlangenrechner.

Das M/M/c-Modell setzt exponentialverteilte Bedienzeiten und unbegrenzten Warteraum voraus, was reale Systeme selten genau erfüllen. Behandeln Sie die Vorhersagen als Planungshilfe: Sind die Bedienzeiten regelmäßiger als exponentialverteilt, sind die tatsächlichen Wartezeiten meist kürzer als vom Modell angegeben.