최종 업데이트: 2026-06-16

2차 반응은 속도가 한 반응물 농도의 제곱에 비례하거나 두 농도의 곱에 비례하는 반응이다. 여기서 다루는 것은 단일 반응물의 경우인 속도 $= k[A]^2$이다. 이 계산기는 2차 적분 속도식을 적용하여 주어진 시간이 지난 뒤 남은 농도를 구하고 초기 반감기를 알려 준다. 2차 속도론은 두 분자가 충돌해야 반응이 일어나는 이분자 단계에서 전형적이다.

적분 속도식

$-\dfrac{d[A]}{dt} = k[A]^2$를 적분하면 역수 형태의 직선식이 된다.

$\frac{1}{[A]} = \frac{1}{[A]_0} + kt \qquad\Longrightarrow\qquad [A] = \frac{1}{\,1/[A]_0 + kt\,}$

$[A]^{-1}$을 시간에 대해 그린 그래프는 기울기가 $k$인 직선이며, 이는 일차 반응의 $\ln[A]$ 직선과 이차 거동을 구별해 준다. 속도 상수는 $\mathrm{M^{-1}s^{-1}}$ 단위를 가진다.

길어지는 반감기

$[A] = [A]_0/2$를 대입하면 초기 농도에 의존하는 반감기가 얻어진다.

$t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$

반응물이 소비되면 각 새 구간에 들어가는 농도가 더 작아지므로 이어지는 반감기는 매번 이전보다 두 배 길어진다. 이는 일정한 1차 반감기와 정반대이다.

예제

$[A]_0 = 1.0\ \mathrm{M}$이고 $k = 0.05\ \mathrm{M^{-1}s^{-1}}$일 때 60초 후에는 다음과 같다.

초기 반감기는 $t_{1/2} = 1/(0.05 \times 1.0) = 20\ \mathrm{s}$이다.

역수가 나타나는 이유

속도가 농도의 제곱에 따라 떨어지므로 처음에는 1차보다 빠르게 감소하지만, 이후 낮은 농도에서는 남은 분자가 서로 거의 만나지 못해 오래 머문다. 이 $[A]^2$ 의존성을 적분하면 로그가 아니라 역수 관계가 나온다. 차수가 감소를 어떻게 바꾸는지 보려면 1차 적분 속도식 계산기와 0차 적분 속도식 계산기를 비교하고, 농도 데이터로부터 전체 속도를 읽으려면 평균 반응 속도 계산기를 사용한다.