ホーム 数学 多項式の定積分 多項式の定積分 多項式 P(x) の定積分 ∫_a^b P(x) dx を厳密に計算します。係数を高次から順にカンマ区切りで入力し、積分区間を指定すると原始関数と積分値を求めます。 印刷 入力 \int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a) P(x) a b 結果 定積分の値 ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a) の厳密な数値です。 P(x) = 1, 0, 0a = 0b = 2 定積分の値 \begin{aligned} \int_a^b P(x)\,dx &= F(b) - F(a) \\ &= F(2) - F(0) \\ &= ? \end{aligned} 原始関数 F(x) 積分定数 C を省略した原始関数の式です。 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-05-26 定積分とは 定積分とは、関数 P(x)P(x) と xx 軸の間の面積を、区間 [a,b][a, b] 上で数値として求める操作です。 ∫abP(x) dx\int_a^b P(x)\,dx ここで「面積」は符号付きです。xx 軸より下にある部分は負の値として加算されます。したがって結果は関数ではなく、一つの実数になります。 微積分学の基本定理 定積分を実際に計算可能にする中心的な定理が、微積分学の基本定理です。 ∫abP(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a) ここで F(x)F(x) は P(x)P(x) の原始関数、すなわち F′(x)=P(x)F'(x) = P(x) を満たす関数です。 無限に細かいリーマン和を取る代わりに、次の手順だけで定積分が求まります。 原始関数 F(x)F(x) を求める。 上限 bb と下限 aa で FF を評価する。 差 F(b)−F(a)F(b) - F(a) を計算する。 冪乗則による積分 多項式の各項の原始関数は、冪乗則（べき乗則）によって求められます。 ∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1) この規則を各項に適用して和をとれば、多項式全体の原始関数を厳密に計算できます。 計算例 — ∫02(3x2−1) dx\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx 項冪乗則の適用原始関数の項3x23x^23⋅x333 \cdot \dfrac{x^3}{3}x3x^3−1\mathord{-1}−1⋅x11-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}−x-x よって F(x)=x3−xF(x) = x^3 - x です。 ∫02(3x2−1) dx=F(2)−F(0)=(8−2)−(0−0)=6\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6 係数の入力方法 係数は最高次から定数項に向かって、カンマ区切りで入力します。 多項式係数の入力例x2x^21, 0, 03x2−13x^2 - 13, 0, -12x3+x−52x^3 + x - 52, 0, 1, -5$7$（定数）7 入力した値の個数が次数を決定します。値が 4 個あれば 3 次多項式です。x2x^2 の係数が 0 であっても省略せずに入力する点に注意してください。 符号付き面積と積分区間の向き 定積分は符号付き面積を与えます。これには二つの重要な性質があります。 xx 軸より下にある場合： その区間の寄与は負になります。たとえば ∫01(−x) dx=−12\int_0^1 (-x)\,dx = -\dfrac{1}{2} であり、幾何的な面積は 12\dfrac{1}{2} であっても積分値は負です。 a>ba > b の場合： 積分は bb から aa へ積分した値の符号を反転したものになります。 ∫abP(x) dx=−∫baP(x) dx\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx これはエラーではなく、定積分の基本的な性質です。計算ツールはこの場合も正しく処理します。 積分定数について 不定積分では解の族を F(x)+CF(x) + C（CC は任意定数）と書きます。しかし定積分では CC は相殺されます。 [F(x)+C]ab=(F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) 定積分の計算において積分定数は最終結果に影響しないため、表示する原始関数からは省略するのが慣例です。 数値積分が必要な場合 冪乗則が適用できるのは非負整数乗の多項式に限られます。それ以外の関数には別の方法が必要です。 被積分関数の種類主な対処法sinx\sin x、cosx\cos x、exe^x既知の原始関数を利用（厳密計算）有理関数、代数関数部分分数分解、置換積分原始関数が閉形式で存在しないシンプソン則、ガウス積分法 多項式として表せない被積分関数には、このツールは適していません。数値積分法または数式処理システム（CAS）の利用を検討してください。 定積分の応用 定積分は理工学・経済学の広い分野で用いられます。 力学： 速度から変位を求める（∫v dt\int v\,dt）、力のする仕事（∫F dx\int F\,dx）。 経済学： 需要曲線と価格水準の間の面積による消費者余剰の計算。 確率論： 連続確率変数が区間 [a,b][a, b] に属する確率は ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx（ff は確率密度関数）。 幾何学： 二曲線の間の面積、回転体の体積。 よくある質問 (FAQ)このツールで積分できる関数に制限はありますか計算対象は多項式のみです。P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ の形で表される関数に限られます。各項に冪乗則を適用することで原始関数を厳密に求められるため、誤差のない数値が得られます。sin や eˣ、ln x などの多項式以外の関数を積分する場合は、シンプソン則やガウス積分法などの数値積分を使用してください。 積分下限が上限より大きい場合（a > b）はどうなりますか正しい符号付き面積が計算されます。定積分の性質として ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx が成り立つため、a > b の場合は b から a に積分した値の符号を反転した結果になります。これは数学的に正当であり、重積分や流束積分を扱う際にも利用される性質です。 原始関数とは何ですか、なぜ役立つのですかP(x) の原始関数 F(x) とは、微分すると P(x) になる関数のことです。単項式 aₙxⁿ に対して冪乗則を適用すると aₙxⁿ⁺¹/(n+1) が得られます。多項式の場合は各項にこの規則を適用して和をとれば F(x) が求まります。微積分学の基本定理により ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a) が成り立つため、積分が単純な代入計算に帰着します。 積分定数 C はなぜ表示されないのですか定積分を評価する際、積分定数 C は消去されます。[F(x) + C] を a から b まで評価すると (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a) となり、C は結果に影響しません。そのため、定積分では積分定数を省略するのが慣例です。積分定数が意味を持つのは、解の族を F(x) + C と表す不定積分の場合だけです。 次のおすすめ 二次方程式の解 ax² + bx + c = 0 を解きます。3つの係数を入力すると、判別式と2つの解（実数または複素数）が求まります。 詳しく解説等差数列の計算 等差数列のn番目の項・和・平均を計算します。初項・公差・項数からaₙ・Sₙが求められます。 詳しく解説判別式の計算 2次方程式 ax²＋bx＋c＝0 の判別式 D＝b²−4ac を計算します。係数 a・b・c を入力すると、解の種類（2つの実数解・重解・2つの複素数解）を自動判定します。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 代数の他の計算 2元連立一次方程式の解（クラメールの公式）一次方程式の計算（ax + b = c）三次方程式の解絶対値方程式の解（|ax + b| = c）多項式の定積分多項式の微分計算 +3 more Show less 二次方程式の解判別式の計算平方完成の計算 数学の他のカテゴリ 平面幾何 2点を通る直線の方程式2点間の距離計算ピタゴラスの定理の計算円の弦と弧の計算円の面積・円周の計算円環面積の計算円弧の長さの計算三角形の外接円の計算三角形の計算（ASA）― 1辺と2角から全要素を求める三角形の計算（SAS）― 2辺と夾角から全要素を求める三角形の計算（SSS）― 3辺から全要素を求める三角形の面積計算正三角形の計算正多角形の計算扇形の面積計算楕円の面積・周の長さの計算台形の面積計算中点計算ツール直角三角形の計算直角二等辺三角形（45-45-90）の計算直線の傾き計算ツール二等辺三角形の計算平行四辺形の面積計算立体幾何 トーラス体積の計算円錐の体積・表面積の計算円錐台（切頭円錐）の計算円柱の体積・表面積の計算球の体積・表面積の計算四角錐の体積・表面積の計算直方体の体積・表面積の計算立方体の計算 — 体積・表面積・対角線三角法 ベクトルの大きさの計算外積の計算（3次元ベクトル）逆三角関数の計算（arcsin・arccos・arctan）三角関数の計算（sin・cos・tan）正弦定理 — AAS（二角一辺）の計算余弦定理の計算統計 Zスコア計算ツールピアソン相関係数の計算ツール加重平均の計算記述統計量計算ツール誤差率（百分率誤差）の計算信頼区間の計算分散・標準偏差の計算平均・中央値・最頻値の計算変動係数（CV）の計算確率 カード確率の計算サイコロ確率の計算階乗の計算（n!）順列の計算 — P(n, r)条件付き確率・ベイズの定理計算ツール正規分布計算ツール組み合わせの計算 — C(n, r)二項確率の計算数列・級数 フィボナッチ数列の計算等差数列の計算平均変化率計算ツール数論 ローマ数字変換ツール最大公約数・最小公倍数の計算指数表記（科学的記数法）変換器素因数分解の計算素数チェッカー対数の計算分数・パーセント パーセント計算比・比例の計算分数・小数・百分率の変換分数の四則演算 この計算機は役に立ちましたか？ 役に立った 改善が必要 改善が必要 どのような点が改善されると良いですか？ フィードバックを送信 Powered by OneCalc ↗
最終更新: 2026-05-26 定積分とは 定積分とは、関数 P(x)P(x) と xx 軸の間の面積を、区間 [a,b][a, b] 上で数値として求める操作です。 ∫abP(x) dx\int_a^b P(x)\,dx ここで「面積」は符号付きです。xx 軸より下にある部分は負の値として加算されます。したがって結果は関数ではなく、一つの実数になります。 微積分学の基本定理 定積分を実際に計算可能にする中心的な定理が、微積分学の基本定理です。 ∫abP(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a) ここで F(x)F(x) は P(x)P(x) の原始関数、すなわち F′(x)=P(x)F'(x) = P(x) を満たす関数です。 無限に細かいリーマン和を取る代わりに、次の手順だけで定積分が求まります。 原始関数 F(x)F(x) を求める。 上限 bb と下限 aa で FF を評価する。 差 F(b)−F(a)F(b) - F(a) を計算する。 冪乗則による積分 多項式の各項の原始関数は、冪乗則（べき乗則）によって求められます。 ∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1) この規則を各項に適用して和をとれば、多項式全体の原始関数を厳密に計算できます。 計算例 — ∫02(3x2−1) dx\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx 項冪乗則の適用原始関数の項3x23x^23⋅x333 \cdot \dfrac{x^3}{3}x3x^3−1\mathord{-1}−1⋅x11-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}−x-x よって F(x)=x3−xF(x) = x^3 - x です。 ∫02(3x2−1) dx=F(2)−F(0)=(8−2)−(0−0)=6\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6 係数の入力方法 係数は最高次から定数項に向かって、カンマ区切りで入力します。 多項式係数の入力例x2x^21, 0, 03x2−13x^2 - 13, 0, -12x3+x−52x^3 + x - 52, 0, 1, -5$7$（定数）7 入力した値の個数が次数を決定します。値が 4 個あれば 3 次多項式です。x2x^2 の係数が 0 であっても省略せずに入力する点に注意してください。 符号付き面積と積分区間の向き 定積分は符号付き面積を与えます。これには二つの重要な性質があります。 xx 軸より下にある場合： その区間の寄与は負になります。たとえば ∫01(−x) dx=−12\int_0^1 (-x)\,dx = -\dfrac{1}{2} であり、幾何的な面積は 12\dfrac{1}{2} であっても積分値は負です。 a>ba > b の場合： 積分は bb から aa へ積分した値の符号を反転したものになります。 ∫abP(x) dx=−∫baP(x) dx\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx これはエラーではなく、定積分の基本的な性質です。計算ツールはこの場合も正しく処理します。 積分定数について 不定積分では解の族を F(x)+CF(x) + C（CC は任意定数）と書きます。しかし定積分では CC は相殺されます。 [F(x)+C]ab=(F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) 定積分の計算において積分定数は最終結果に影響しないため、表示する原始関数からは省略するのが慣例です。 数値積分が必要な場合 冪乗則が適用できるのは非負整数乗の多項式に限られます。それ以外の関数には別の方法が必要です。 被積分関数の種類主な対処法sinx\sin x、cosx\cos x、exe^x既知の原始関数を利用（厳密計算）有理関数、代数関数部分分数分解、置換積分原始関数が閉形式で存在しないシンプソン則、ガウス積分法 多項式として表せない被積分関数には、このツールは適していません。数値積分法または数式処理システム（CAS）の利用を検討してください。 定積分の応用 定積分は理工学・経済学の広い分野で用いられます。 力学： 速度から変位を求める（∫v dt\int v\,dt）、力のする仕事（∫F dx\int F\,dx）。 経済学： 需要曲線と価格水準の間の面積による消費者余剰の計算。 確率論： 連続確率変数が区間 [a,b][a, b] に属する確率は ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx（ff は確率密度関数）。 幾何学： 二曲線の間の面積、回転体の体積。 よくある質問 (FAQ)このツールで積分できる関数に制限はありますか計算対象は多項式のみです。P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ の形で表される関数に限られます。各項に冪乗則を適用することで原始関数を厳密に求められるため、誤差のない数値が得られます。sin や eˣ、ln x などの多項式以外の関数を積分する場合は、シンプソン則やガウス積分法などの数値積分を使用してください。 積分下限が上限より大きい場合（a > b）はどうなりますか正しい符号付き面積が計算されます。定積分の性質として ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx が成り立つため、a > b の場合は b から a に積分した値の符号を反転した結果になります。これは数学的に正当であり、重積分や流束積分を扱う際にも利用される性質です。 原始関数とは何ですか、なぜ役立つのですかP(x) の原始関数 F(x) とは、微分すると P(x) になる関数のことです。単項式 aₙxⁿ に対して冪乗則を適用すると aₙxⁿ⁺¹/(n+1) が得られます。多項式の場合は各項にこの規則を適用して和をとれば F(x) が求まります。微積分学の基本定理により ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a) が成り立つため、積分が単純な代入計算に帰着します。 積分定数 C はなぜ表示されないのですか定積分を評価する際、積分定数 C は消去されます。[F(x) + C] を a から b まで評価すると (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a) となり、C は結果に影響しません。そのため、定積分では積分定数を省略するのが慣例です。積分定数が意味を持つのは、解の族を F(x) + C と表す不定積分の場合だけです。
