最終更新: 2026-05-18

正規分布計算機の使い方

正規分布は、平均を中心に左右対称の釣り鐘型をなす連続確率分布で、自然現象や社会現象の多くを近似する統計学の基本的な分布です。観測値・平均・標準偏差を入力すると、Zスコア・累積確率P(X < x)・超過確率P(X > x)・パーセンタイル・確率密度f(x)を、Zスコア表を参照せずに計算できます。

正規分布とは

正規分布（ガウス分布）は、平均を中心に左右対称の釣り鐘型をした連続確率分布です。自然現象や社会現象に広く現れます。身長・体重・テスト点数・製品の寸法誤差・株価の日次変化率など、十分大きな標本では多くの現象が正規分布に近づきます。

分布の形は2つのパラメータで完全に決まります。

• μ（平均） — 分布の中心
• σ（標準偏差） — データのばらつき度合い

確率密度関数は以下のとおりです。

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

Zスコア（標準得点）

Zスコアは、観測値を「平均から何標準偏差離れているか」という単位に変換した値です。

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Zスコア	意味
z = 0	平均と一致
z = 1	平均より1σ上
z = −2	平均より2σ下
z > 3	極端な外れ値（全体の0.3%未満）

Zスコアは異なるスケールの分布を統一した尺度で比較するために使われます。例えば、100点満点のテスト結果と5点満点の評定を同じ基準で評価できます。模試などで使われる「偏差値」（平均50、標準偏差10に変換した値）も、正規分布を前提とした標準得点の一種です。

累積確率：P(X < x)

P(X < x)は、釣り鐘型曲線においてxより左側の面積です。この分布からランダムに取り出した値がxより小さい確率を表します。

$$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

ここで Φ(z) は標準正規分布 N(0, 1) の累積分布関数（CDF）、erf は誤差関数（error function）で、$\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$ と定義される数学の特殊関数です。

このツールはAbramowitz & Stegun §7.1.26の有理近似（最大誤差 < 1.5 × 10⁻⁷）を使用しており、6桁の有効数字で計算します。

68-95-99.7の法則（経験則）

どんな正規分布でも、次の3つの範囲が実用上の基準になります。

範囲	確率
μ ± 1σ	約68.3%
μ ± 2σ	約95.4%
μ ± 3σ	約99.7%

平均から3σを超える値は約370個に1個しか出現しません。製造業では3σ管理（不良率0.27%以下）や6シグマ（不良率3.4 ppm以下）の品質基準として活用されています。また、健康診断の基準値（正常範囲）も多くの検査項目で平均±2σが目安として使われています。

計算例 — 模試の得点分析

学校のある模試で、クラス全体の平均がμ = 72点、標準偏差がσ = 8点だったとします。ある生徒の得点がx = 85点の場合を考えます。

$$z = \frac{85 - 72}{8} = 1.625$$ $$P(X < 85) = \Phi(1.625) \approx 0.9479$$

この生徒は約第95パーセンタイルに位置しており、クラスの約94.8%の生徒より高い得点をとったことになります。上位約5.2%に入っています。

確率密度f(x)と累積確率の違い

量	記号	意味
確率密度	f(x)	x における曲線の高さ — それ自体は確率ではない
累積確率	P(X < x)	x の左側の面積 — これが確率

σが小さい（分布が狭い）場合、f(x)の値が1を超えることがあります。密度は確率ではないため、1を超えても問題ありません。連続分布では特定の1点の確率は常に0であり、区間にのみ正の確率が存在します。

よくある質問 (FAQ)

Zスコアとは何ですか。どう計算しますか。

Zスコアは、ある値が平均から何標準偏差分離れているかを示す指標で、z = (x − μ) / σ で求めます。Z = 0は平均と一致、Z = 1は平均より1σ上、Z = −2は平均より2σ下を意味します。単位や規模が異なる複数の分布の値を比較したいときに役立ちます。たとえば模試の偏差値と実力テストの得点を同じ尺度で比べることができます。

正規分布のP(X < x)は何を表していますか。

P(X < x)は累積確率で、この分布からランダムに1つの値を取り出したとき、それがxより小さい確率を示します。ベル曲線のxより左側の面積に相当します。例えば、P(X < 85) = 0.69であれば、この分布の値の約69%が85未満ということです。P(X > x) = 1 − P(X < x)が右側（超過確率）になります。

68-95-99.7の法則とは何ですか。正規分布の標準偏差の範囲を知りたいです。

どんな正規分布でも、平均から±1σの範囲に約68%、±2σに約95%、±3σに約99.7%のデータが収まります。|Z| > 3の値は全体の0.3%未満しか出現しない外れ値と見なされます。製造業の品質管理（3σ管理、6シグマ）や学力分布の評価など、実務で広く使われる経験則です。

Zスコアからパーセンタイルはどうやってわかるのですか？

パーセンタイルはP(X < x) × 100で求まります。Z = 0は第50パーセンタイル（ちょうど中央）、Z = 1.28は約第90パーセンタイル、Z = 1.645は約第95パーセンタイル、Z = 2.326は約第99パーセンタイルに対応します。このツールは直接パーセンタイルを算出するためZスコア表の参照は不要です。健康診断の血液検査値や模試の成績分布の確認にも使えます。