最終更新: 2026-06-23

この計算でわかること

標本から母平均を推定する際の誤差の範囲と、標本平均を中心とした信頼区間を求めます。信頼水準・標準偏差・標本サイズ・観測された標本平均を入力します。

誤差の範囲とは

世論調査やアンケート、実験で標本から平均を推定するとき、その推定値が正確であることはありません。別の無作為標本をとれば、平均はわずかに異なる値になります。誤差の範囲は、この標本抽出に伴う不確かさを数値で表したものです。「満足度の平均は 10 点満点で 7.2、±0.3」のように、結果に併記される「プラスマイナス」がこれにあたります。形式的には信頼区間の半幅、すなわち標本平均から区間の両端までの距離を指します。

計算式

標準偏差が既知（または十分に推定できる）場合、母平均の誤差の範囲は次の式で求めます。

• E — 誤差の範囲（区間の半幅）
• z — 標準正規分布から定まる臨界値で、信頼水準によって決まります（90% で 1.645、95% で 1.96、99% で 2.576）
• σ — データの標準偏差
• n — 標本サイズ

$\sigma/\sqrt{n}$ は平均の標準誤差、すなわち標本平均の標本分布の標準偏差です。これに臨界値を掛けることで、目的の信頼水準に合わせて幅を広げます。

信頼区間は、標本平均にこの誤差を加減した範囲となります。

標本平均 $\bar{x}$ と誤差の範囲 $E$ から、区間は $\bar{x} - E$ から $\bar{x} + E$ までとなります。信頼水準 95% であれば、調査を何度も繰り返したとき、この方法で構成した区間のおよそ 95% が母平均を含むことを意味します。

√n とともに誤差が縮む理由

標本サイズは平方根の下に入るため、誤差の範囲は $n$ そのものの逆数ではなく $1/\sqrt{n}$ に比例して小さくなります。このため改善は次第に緩やかになります。

誤差の範囲を半分にするには、標本を4 倍にする必要があります。この平方根の法則があるため、全国規模の大きな調査でも数ポイントの誤差が残り、精度を 1 段階上げるたびにコストが増していきます。

計算例

標本サイズ 100、標準偏差 15、平均 50 の標本があり、信頼水準 95% の区間を求めるとします。臨界値は 1.96 です。

誤差の範囲は ±2.94、信頼水準 95% の信頼区間は 47.06 から 52.94 までとなります。この標本に基づくと、母平均はこの範囲のどこかにあると考えられる、と読み取れます。

σ が不明な場合や n が小さい場合

上の式は、母標準偏差 σ が既知であるか、標本標準偏差 s を確実に代用できる程度に標本が大きいことを前提とします。目安としては $n \geq 30$ がよく使われます。

σ が不明で標本が小さい場合は、正規分布の臨界値の代わりに t 分布の値を用います。t 分布は、データから σ を推定することによる不確かさを反映して裾が厚くなっています。

t 値は標本サイズより 1 少ない自由度に依存し、対応する z 値より常にわずかに大きいため、区間は広がります。n が大きくなると、t 値は再び z 値に近づきます。

割合に対する誤差の範囲

この計算は平均に対する誤差の範囲を扱います。割合、たとえば「はい」と回答した人の比率などの場合、標準誤差は異なり、誤差の範囲は次のようになります。

ここで $p$ は標本における割合です。この式は $p$ が 2 分の 1 のとき最大となるため、世論調査ではこの値で計算した最も保守的な「最悪のケース」の誤差を示すことがよくあります。

関連する計算

信頼区間の計算 は推定値を囲む完全な区間を構成し、平均と割合の両方に対応します。研究を計画する段階で、目標とする誤差の範囲に合わせて事前に n を決めたい場合は、必要サンプルサイズ（母平均） で式を逆に解き、必要な標本サイズを求められます。