最終更新: 2026-07-01

この計算ツールでできること

このツールは 2×2 行列の逆行列を求めます。A = [[a, b], [c, d]] の 4 つの成分を入力すると、行列式と逆行列の 4 つの成分が、手順とともに表示されます。逆行列が存在しない場合は、意味のない数値を出す代わりにその旨を知らせます。

行列 A の逆行列は $A^{-1}$ と書き、関係式 $A A^{-1} = A^{-1} A = I$（$I$ は単位行列）で定義されます。

2×2 逆行列の公式

2×2 行列の逆行列は、余因子行列（随伴行列） を行列式で割って得られます。

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

覚え方は簡単です。主対角の成分（$a$ と $d$）を入れ替え、副対角の成分（$b$ と $c$）の符号を反転し、すべてを行列式 $ad - bc$ で割ります。

まず行列式を計算する

行列式 $\det A = ad - bc$ が、逆行列が存在するかどうかを決めます。0 でなければ、上の公式が唯一の逆行列を与えます。0 ならば、その行列は正則でない（特異な）行列であり、逆行列を持ちません。掛けて単位行列に戻せる行列が存在しないのです。

計算例

行列 [[4, 3], [6, 3]] を考えます。

まず行列式を求めます。

$\det A = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6$

行列式が 0 でないので逆行列が存在します。公式を適用すると、

$$A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6667 \end{pmatrix}$$

答えの確認

元の行列に逆行列を掛けて、単位行列になるかを確かめるとよいでしょう。

$$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6667 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

積が単位行列になり、逆行列が正しいことが確認できます。末尾の桁のわずかな差は、表示した成分を丸めたことによるものです。

逆行列が存在しない場合

2×2 行列は $ad - bc = 0$ のとき特異です。幾何的には、2 つの列ベクトルが同一直線上にあり、変換が平面を直線につぶしてしまうため情報が失われ、元に戻すことができません。たとえば [[2, 4], [1, 2]] は行列式が $(2)(2) - (4)(1) = 0$ なので逆行列を持ちません。

逆行列で Ax = b を解く

逆行列の主な用途の一つは連立一次方程式を解くことです。$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ で $A$ が正則なら、両辺に $A^{-1}$ を掛けて

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

となります。2×2 の連立方程式では、逆行列がわかれば素早く解を求められます。係数行列が特異な場合、解は存在しないか無限に多くあります。

役立つ性質

• $(A^{-1})^{-1} = A$ — 2 回逆にすると元の行列に戻ります。
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ — 積の逆行列は順序が入れ替わります。
• $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$ — 逆行列の行列式は元の行列式の逆数です。
• $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$ — 転置と逆行列は交換できます。

よくある質問 (FAQ)

逆行列とは何ですか？

正方行列 A の逆行列 A⁻¹ とは、A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I（I は単位行列）を満たす行列です。逆行列を掛けると A を掛ける操作が打ち消されるため、数における割り算に相当する役割を持ちます。

2×2 行列が逆行列を持たないのはどんなときですか？

2×2 行列は、行列式 ad − bc がちょうど 0 のときに逆行列を持ちません。このような行列は正則でない（特異な）行列と呼ばれ、行（または列）が一次従属で、公式が 0 による割り算になり、その変換を元に戻す行列が存在しません。

2×2 行列の逆行列の公式は何ですか？

A = [[a, b], [c, d]] の逆行列は A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]] です。言い換えると、主対角の 2 成分を入れ替え、副対角の 2 成分の符号を反転し、各成分を行列式 ad − bc で割ります。

求めた逆行列が正しいかどうかを確認するには？

元の行列と逆行列を掛けてみます。積が 2×2 の単位行列 [[1, 0], [0, 1]] になれば逆行列は正しいです。表示桁の丸めによるわずかな差は問題なく、行列式が 0 でなければ正確な積は常に単位行列になります。