最終更新: 2026-05-19

カードを引く確率のしくみ

超幾何分布とは、有限の集まりから戻さずに（非復元で）何個か取り出したとき、その中に特定の種類のものがちょうど何個含まれるかを表す確率分布です。デッキからカードを引く場面に正確に当てはまります。カードを1枚引くと残りのデッキ構成が変わり、2枚目を引くときの確率は1枚目の結果に依存するため、各回が独立なコイン投げやサイコロとは扱いが異なります。デッキ枚数・目標カード枚数・手札枚数・希望ヒット数の4つから、この分布による確率を計算します。

超幾何分布の公式

$N$ 枚のデッキに $K$ 枚の目標カードがあるとき、非復元で $n$ 枚引いて $k$ 枚のヒットが得られる確率は：

$$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

各項の意味は次のとおりです。

• $\binom{K}{k}$ — $K$ 枚の目標カードから $k$ 枚を選ぶ場合の数
• $\binom{N-K}{n-k}$ — 残りの $n-k$ 枚を非目標カードで埋める場合の数
• $\binom{N}{n}$ — $N$ 枚から $n$ 枚を選ぶ全ての場合の数

分子が「条件を満たす手札の組み合わせ数」、分母が「あり得る手札の全組み合わせ数」です。

計算例：ポーカーでエース2枚

標準ポーカー：$N = 52$、$K = 4$（エース）、$n = 5$、$k = 2$。

$$P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{6 \times 17\,296}{2\,598\,960} \approx 0.03993$$

5枚手札にエースがちょうど2枚入る確率は**約4.0%**です。エースが1枚以上入る確率はずっと高く、約34.1%になります。

手札内のエースの期待枚数は：

$$E[X] = \frac{n \cdot K}{N} = \frac{5 \times 4}{52} = \frac{5}{13} \approx 0.385$$

平均では手札0.38枚のエースが期待されます。当然ながら実際には0枚か1枚か2枚……という整数値になり、期待値はあくまで多数回の平均を表します。

「ちょうど k 枚」と「k 枚以上」の違い

P(k 枚以上)、すなわち $P(X \geq k)$ は、$k$ から $\min(n, K)$ まで確率質量関数を合計した値です。

$$P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{\min(n,K)} P(X = i)$$

カードゲームでは「ちょうど2枚」よりも「2枚以上そろう見込み」が問われる場面が多くなります。分布チャートは全ヒット数にわたる確率の広がりを示し、累積方向の見当をつけるのに役立ちます。

よくある状況別の確率

デッキ	目標	手札	希望	P(ちょうど)	P(以上)
52	4（エース）	5	1	29.9%	34.1%
52	4（エース）	5	2	4.0%	4.2%
52	13（スペード）	5	3	8.2%	9.3%
52	12（絵札）	5	2	25.1%	32.5%
52	4（エース）	2	1	14.5%	14.9%
312（6デッキ）	24（エース）	2	1	14.2%	14.8%

6デッキのブラックジャックシューの行が示すように、$K/N$ の比率を一定に保つ（24/312 = 4/52）と確率はほぼ変わりません。デッキが大きくなっても、比率が同じなら確率はほぼ安定します。

超幾何分布と二項分布の違い

二項分布は各試行が独立で成功確率 $p$ が一定のときに使います。カード引きは非独立で、1枚引くたびに残りの構成が変わるため二項分布は正確ではありません。

• 二項近似（5枚中にエース1枚以上）：$1 - (1 - 4/52)^5 \approx 33.0\%$
• 超幾何分布（正確値）：約 $34.1%$

手札がデッキの大きな割合を占めると差は広がります。20枚デッキから10枚引く場合、二項近似は大きく外れますが超幾何分布は正確な値を返します。

この計算機の使い方

1. デッキ枚数 — ドロー前の総枚数。標準トランプは52枚、6デッキシューは312枚。途中からの状況をモデル化するときは残り枚数を入力してください。
2. デッキ内の目標カード枚数 — ヒットとみなすカードの枚数。エースなら4枚、スペードなら13枚、赤いキングなら2枚。
3. 手札枚数 — 1回のドローで引く枚数。
4. 希望ヒット数 — 知りたいヒット数。最低ライン（k 枚以上）が知りたいときは P(k 枚以上) の値を使います。

分布チャートは確率質量関数の全体像を表示します。0枚から最大ヒット数まで各棒グラフが確率を示し、希望ヒット数に対応する棒が強調表示されます。

よくある質問 (FAQ)

5枚手札にエースが2枚入る確率は？

通常の52枚デッキ（エース4枚）から5枚引くとき、ちょうど2枚のエースが入る確率は P(X = 2) = C(4,2) × C(48,3) / C(52,5) = 6 × 17,296 / 2,598,960 ≈ 0.03993（約4.0%）です。エースが1枚以上入る確率はより高く、約34.1%になります。デッキ枚数52・目標4・手札5・希望ヒット数2と入力して確認できます。

カードゲームではなぜ超幾何分布を使うのですか？

超幾何分布は、有限の母集団から非復元抽出を行う際の確率モデルです。カードを引く場面に完全に当てはまります。デッキが母集団、目標カードとそれ以外の2グループに分かれ、1枚引くたびに残りの構成が変わるのが非復元抽出の本質です。引いたカードを戻す復元抽出なら二項分布が使えますが、カードゲームでは非復元が基本なので超幾何分布が正確な選択です。

この計算機は復元抽出と非復元抽出のどちらを前提にしていますか？

非復元抽出を前提にしています。カードゲームでは一度引いたカードをデッキに戻さないため、引くたびに確率が変化します。超幾何分布の公式はこの変化を正確に反映しています。復元抽出（1枚引くたびに戻す）の場合は二項分布を使い、二項確率計算機で計算できます。

フラッシュなどの複合条件ハンドの確率はどう求めますか？

複数の条件を同時に満たすハンドの確率は、単一の超幾何計算では求められず、有効な5枚の組み合わせを直接数える必要があります。たとえばフラッシュ（同じスートが5枚）の場合、1スートの選び方は C(13,5) = 1,287 通り × 4スートで5,148通り、5枚手札の全組み合わせ C(52,5) = 2,598,960 通りのうち約0.197%です。この計算機は「ある種類のカードがちょうど k 枚または k 枚以上」という単一条件の計算に適しています。複合ハンドの頻度は場合の数の参考資料やポーカーオッズ表をご参照ください。