最終更新: 2026-06-04

期待値とは

期待値（E[X]）とは、確率変数が取りうるすべての値を、それぞれの発生確率で重み付けして求めた加重平均です。確率論・統計学の基本概念であり、「同じ試行を非常に多く繰り返した場合の結果の長期平均」を表します。

結果値 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ がそれぞれ確率 $p_1, p_2, \ldots, p_n$ で発生するとき、期待値は次の式で定義されます。

$$E[X] = \sum_{i} p_i \cdot x_i$$

この式は、各結果値にその確率を掛けた積の総和です。ここで $\sum_i p_i = 1$ が成立する必要があります。

計算式と計算例

次の 3 通りの結果を持つ試行を考えます。

結果値	確率
+10	0.50
−5	0.30
+20	0.20

期待値の計算：

$$E[X] = 10 \times 0.50 + (-5) \times 0.30 + 20 \times 0.20 = 5.00 - 1.50 + 4.00 = 7.50$$

この試行を繰り返すほど、1 回あたりの平均値は 7.50 に近づいていきます。

分散の計算：

分散 $\sigma^2$ は、各結果値が期待値からどれだけ離れているかを確率で重み付けして平均したもので、ばらつきの大きさを示します。

$$\sigma^2 = \sum_{i} p_i \cdot (x_i - E[X])^2$$

上の例では：

$$\sigma^2 = 0.50 \times (10 - 7.5)^2 + 0.30 \times (-5 - 7.5)^2 + 0.20 \times (20 - 7.5)^2$$ $$= 0.50 \times 6.25 + 0.30 \times 156.25 + 0.20 \times 156.25 = 3.125 + 46.875 + 31.250 = 81.25$$

標準偏差の計算：

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{81.25} \approx 9.01$$

標準偏差は元の結果値と同じ単位に戻るため、ばらつきの直感的な解釈に適しています。この例では、1 回の試行で結果が期待値 7.50 からおよそ ±9.01 の範囲でばらつくことを示しています。

期待値だけでは不十分な理由

期待値が等しくても、分散が大きく異なる分布が存在します。

• 確実に 100 を得る試行：E[X] = 100、σ = 0
• 50% の確率で 200 を得て、50% の確率で 0 になる試行：E[X] = 100、σ = 100

どちらも期待値は 100 ですが、リスクの性質はまったく異なります。意思決定においては、期待値と分散（あるいは標準偏差）を合わせて評価することが重要です。

公正なゲームの定義

期待値が 0 になる試行を公正なゲームと呼びます。公正なゲームでは、長期的に見て参加者が得ることも失うこともない構造になっています。

多くの賭博では、胴元側の期待値がプラスになるように設計されており、参加者の期待値は必然的にマイナスになります。この計算ツールを使うと、任意の確率分布が公正・有利・不利のどれに該当するかを確認できます。

大数の法則

大数の強法則によれば、有限の期待値を持つ独立同一分布に従う確率変数の標本平均は、試行回数の増加とともにほぼ確実に E[X] に収束します。この性質は、保険の保険料設計、金融資産の価格モデル、長期的なリスク管理の理論的根拠となっています。

ただし、大数の法則は個々の試行や少数回の試行結果については何も保証しません。期待値が +5 のゲームでも、数十回の試行で連続して負ける可能性は十分あります。標準偏差 σ は、この短期的な不確かさを定量化します。正規分布に近似できる場合、個々の結果の約 68% が E[X] ± σ の範囲に、約 95% が E[X] ± 2σ の範囲に収まります。

使い方

結果値と確率をそれぞれカンマ区切りで入力してください。両者の個数は一致させる必要があります。確率はすべて 0 以上で、合計が 1 になるように設定します。合計が 1 から 0.001 以上ずれると警告が表示されます。結果値には負の数も使用できます。

確率分布グラフでは、各結果値の確率を棒グラフで表示します。確率の集中しているところと散らばっているところが視覚的に確認でき、分布の形状を直感的に把握するのに役立ちます。

よくある質問 (FAQ)

期待値（E[X]）とは何ですか？

期待値とは、確率変数が取りうるすべての値を、それぞれの確率で重み付けして求めた加重平均のことです。たとえば、コインを投げて表なら 1000 円もらえ、裏なら 500 円支払うゲームを考えます。それぞれの確率が 0.5 であれば、E[X] = 1000 × 0.5 + (−500) × 0.5 = 250 円となります。このゲームを繰り返すと、1 回あたりの平均損益は 250 円に収束していきます。期待値は保険の保険料算出やリスク管理、ゲーム理論の基礎として広く使われています。

期待値がプラスなら、常に参加すべきですか？

期待値がプラスであることは、参加を検討する根拠にはなりますが、それだけで判断するのは不十分です。分散（リスク）も同時に考慮する必要があります。たとえば、期待値が 1000 円プラスでも、10% の確率で全財産を失うリスクがある場合、多くの人にとって合理的な選択とはいえません。経済学の効用理論が示すように、富の限界効用は逓減するため、損失の痛みは同額の利益の喜びより大きく感じられます。期待値のプラスが意味を持つのは、掛け金が総資産に対して小さく、同じ機会を何度も繰り返せる場合です。

期待値は短期の結果を予測できないのはなぜですか？

期待値は多数の独立した試行における長期平均を表すものであり、個々の試行の結果を予測するものではありません。大数の法則によれば、試行回数が増えるにつれて標本平均は E[X] に収束しますが、少ない試行回数では実際の結果が期待値から大きく外れることがあります。コインを投げて表なら 1000 円、裏なら 0 円のゲームでは E[X] = 500 円ですが、10 回試行した場合に実際の平均が 500 円近辺になる保証はありません。この短期的な不確かさを定量化するのが標準偏差（σ）です。

確率の合計が 1 にならない場合はどうなりますか？

有効な離散確率分布では、すべての確率が 0 以上かつ合計が正確に 1 になる必要があります。合計が 1 未満の場合、考慮すべき結果や確率が抜けていることを意味します。合計が 1 を超える場合は、確率の設定に矛盾があります。どちらの場合も、期待値の計算は算術的には実行できますが、その結果は数学的に定義された確率変数の期待値を正確に表しません。このツールでは、合計が 1 から 0.001 以上ずれると警告を表示します。