最終更新: 2026-07-01

円の方程式

円とは、ある定点（中心 $(h, k)$）から一定の距離（半径 $r$）にあるすべての点の集合です。この定義を座標で表したものが円の標準形です。

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

二乗を展開して項を整理すると、一般形が得られます。

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

どちらの方程式も同じ円を表します。標準形は中心と半径をそのまま示し、一般形はそれらを隠しますが、問題が「素のまま」与えられたときに自然に現れる形です。この計算ツールは、両者をどちらの向きにも変換します。

一般形から中心と半径へ

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ が与えられたとき、中心と半径は次のとおりです。

$\text{中心} = \left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

中心の座標は $x$ と $y$ の係数からそのまま得られます。半径については、根号の中の量（判別量 $\tfrac{D^2}{4} + \tfrac{E^2}{4} - F$）が正であることが、本物の円が存在する条件です。

平方完成

この変換は、両方の変数に対して同時に行う平方完成そのものです。一般形から始めてまとめます。

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

各平方を完成させるには、一次の係数の半分の二乗を両辺に加えます。$x$ の組には $\left(\tfrac{D}{2}\right)^2$、$y$ の組には $\left(\tfrac{E}{2}\right)^2$ です。

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

左辺は中心 $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$ の 2 つの完全平方の和、右辺は $r^2$ です。これがちょうど標準形です。

具体例

問題： $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$ の中心と半径を求めよ。

手順 1 — 係数を読み取る： $D = -4$、$E = 6$、$F = 9$。

手順 2 — 中心を求める：

$\text{中心} = \left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right) = (2,\ -3)$

手順 3 — 半径を求める：

$r = \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$

したがってこの円は中心 $(2, -3)$、半径 $2$ で、標準形は $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$ です。

中心と半径から一般形へ

逆向きには、標準形の二乗を展開します。中心 $(h, k)$、半径 $r$ のとき、

$D = -2h \qquad E = -2k \qquad F = h^2 + k^2 - r^2$

上の例では $h = 2$、$k = -3$、$r = 2$ なので $D = -4$、$E = 6$、$F = 4 + 9 - 4 = 9$ となり、元の一般形 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$ に戻ります。

実在する円がない場合

半径が実数になるのは、判別量が正のときだけです。

$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$

3 つの場合が生じます。

• 判別量が正 — $r = \sqrt{\text{判別量}}$ の実在する円。
• 判別量が 0 — 方程式は 1 点 $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$ に縮退します（半径 0 の「点円」）。
• 判別量が負 — 方程式を満たす実点は存在しません。これは虚円と呼ばれることがあり、幾何学的に描けるものはありません。

たとえば $x^2 + y^2 + 1 = 0$ は $D = E = 0$、$F = 1$ なので判別量は $-1$ です。二乗の和が $-1$ になる実数の $(x, y)$ はないため、円は存在しません。

一般形が重要な理由

一般形 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ は、$x^2$ と $y^2$ の係数が等しく $xy$ の項を含まない二次方程式であり、これは円錐曲線の中で円であることの代数的な特徴です。これを認識すれば、ごちゃごちゃした二次方程式が円かどうか（二乗の係数が等しく交差項がない）を、計算する前に一目で判断でき、平方完成によって中心と半径が明らかになります。

よくある質問 (FAQ)

円の標準形と一般形はどう違いますか。

標準形 (x − h)² + (y − k)² = r² は、中心 (h, k) と半径 r をそのまま読み取れます。一般形 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 はそれを展開したもので、中心や半径は隠れますが、代数計算や他の二次曲線との比較には便利です。どちらも同じ円を表し、平方完成（一般形 → 標準形）や二乗の展開（標準形 → 一般形）で相互に変換できます。

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 から中心と半径を求めるには。

x と y で別々に平方完成します。中心は (−D/2, −E/2)、半径は r = √(D²/4 + E²/4 − F) です。たとえば x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 なら、中心は (2, −3)、半径は √(4 + 9 − 9) = √4 = 2 となります。

平方完成で一般形を標準形に変えるしくみは。

x の項と y の項をまとめます：(x² + Dx) + (y² + Ey) = −F。両辺に (D/2)² と (E/2)² を加えてそれぞれの平方を完成させると、(x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F。左辺は中心 (−D/2, −E/2) の 2 つの完全平方となり、右辺が r² です。これが標準形です。

方程式が実在する円を表さないのはどんなときですか。

半径の 2 乗は r² = D²/4 + E²/4 − F です。これが負なら、方程式を満たす実数の (x, y) は存在せず、円はありません（虚円と呼ばれることもあります）。ちょうど 0 なら、方程式は中心の 1 点にだけ縮退します（半径 0 の「点円」）。本物の円であるには D²/4 + E²/4 − F > 0 が必要です。