等比数列の計算

初項	2
公比	3
項番号	10

初項

公比

項番号

最終更新: 2026-06-04

等比数列とは、隣り合う項の比が常に一定な数列のことです。この一定の比を公比（r）、最初の項を初項（a₁）と呼び、数列は次のように表されます。

a_1,\quad a_1 r,\quad a_1 r^2,\quad a_1 r^3,\quad \ldots

たとえば 2, 6, 18, 54, … は初項 2・公比 3 の等比数列です。

第n項の公式

等比数列の第 n 項は次の式で求められます。

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

初項 a₁ に公比 r を (n − 1) 回掛けることで第 n 項が得られます。

初項 3、公比 2 の数列（3, 6, 12, 24, …）の第 5 項を求める場合は次のとおりです。

a_5 = 3 \cdot 2^{4} = 3 \times 16 = 48

初項からn項までの和

部分和 Sₙ は r ≠ 1 のとき次の式で求められます。

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

この式は、Sₙ から r·Sₙ を引くと内部の項が打ち消し合い、Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ) となることから導かれます。r = 1 のときはすべての項が a₁ に等しいため、Sₙ = n · a₁ となります。

計算例： 初項 5、公比 3 の数列の最初の 4 項の和を求めます。各項は 5, 15, 45, 135 であり、公式に代入すると次のようになります。

S_4 = 5 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 5 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 5 \times 40 = 200

直接計算すると 5 + 15 + 45 + 135 = 200 で一致します。

無限等比級数の和

公比の絶対値が 1 より小さい場合（|r| < 1）、各項は 0 に近づき部分和は有限値に収束します。

S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}

部分和の公式で n → ∞ とすると rⁿ → 0 となり、S∞ = a₁ / (1 − r) が得られます。

|r| ≥ 1 のとき各項は 0 に近づかないため、級数は発散します。

計算例： ボールを 10 m の高さから落とし、毎回その高さの 0.6 倍まで跳ね返る場合（r = 0.6）、2 回目以降の弾み上がりを等比級数で表すと、その上向きの移動距離の和は次のようになります。

S_{\infty} = \frac{6}{1 - 0.6} = \frac{6}{0.4} = 15 \text{ m}

収束の条件

公比の値によって数列の挙動は次のように分類されます。

条件	数列の挙動
\|r\| < 1	各項が 0 に収束。無限等比級数の和は a₁ / (1 − r)
r = 1	定数数列。部分和は n·a₁ で限りなく大きくなる
r = −1	項が a₁ と −a₁ の間で振動。発散
\|r\| > 1	項の絶対値が増大。発散

複利計算との関係

元本 P を年利 i で複利運用したときの n 年後の残高は次の式で表されます。

A_n = P \cdot (1 + i)^n

1 年後の残高 P(1 + i) を第 1 項、公比 (1 + i) の等比数列として捉えると、n 年後の残高は a₁ · rⁿ⁻¹ の形に一致します。毎年一定額を積み立てる場合（年金・定期積立）は、部分和の公式を用いて将来価値を計算します。

ゼノンのパラドックス

古代ギリシャの哲学者ゼノンは「部屋を横切るには、まず半分の距離を進み、次にその残りの半分を進み…」という議論を提唱しました。この無限に続く移動距離の総和は次のようになります。

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

無限個の移動を重ねても距離の総和は有限（= 1）に収まるというのが、|r| < 1 の等比数列の収束によって数学的に説明されます。

よくある質問 (FAQ)

無限等比級数が収束するのはどのような条件ですか？

公比の絶対値が 1 より真に小さい場合（|r| < 1）に限り、無限等比級数は S∞ = a₁ / (1 − r) に収束します。|r| ≥ 1 のとき各項は 0 に近づかないため、部分和は限りなく大きくなるか（r ≥ 1）、振動し続けます（r = −1）。

公比が負のときはどうなりますか？

公比が負の場合、項の符号が正・負・正・負… と交互に変わります。たとえば a₁ = 4、r = −0.5 の数列は 4, −2, 1, −0.5, 0.25, … となります。|r| = 0.5 < 1 なので無限等比級数は収束し、S∞ = 4 / (1 − (−0.5)) = 4 / 1.5 ≈ 2.667 になります。

等比数列と指数関数はどのような関係がありますか？

等比数列は指数関数を整数点でサンプリングしたものです。aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ という式は、r > 1 のとき指数的増加（複利計算・細胞分裂など）、0 < r < 1 のとき指数的減少（放射性崩壊・薬物濃度の減衰など）を表します。連続版は f(t) = a · eᵏᵗ に対応します。

公比に分数や小数を使うことはできますか？

はい、公比 r は 0 以外の任意の実数を指定できます。r = 1/2 にすると各項が半分になり（1, 0.5, 0.25, …）、r = 3/2 にすると各項が 1.5 倍ずつ増えます（1, 1.5, 2.25, 3.375, …）。r = 0 は第2項以降が 0 になり通常の公式が成り立たないため、r = 0 の入力は想定していません。

等比数列の計算

数式

入力

グラフ

等比数列の計算

数列のパラメータ

計算結果

項のグラフ

この計算機を埋め込む

この計算を共有

次のおすすめ

等差数列の計算

複利計算

比・比例の計算

この計算機は役に立ちましたか？

改善が必要