最終更新: 2026-06-05

半球とは

半球とは、球を大円で切断してできる立体です。平面の底面（円形）と、ドーム状に湾曲した外側の曲面から構成されます。底面の円の半径は元の球の半径と等しくなります。身近な例として、椀（ボウル）やプラネタリウムのドームなどが挙げられます。

公式

半径 r の半球に対して、各計量値の公式を以下に示します。

計量値	公式	補足
体積	$V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$	球の体積の半分
曲面積	$A_c = 2\pi r^2$	ドーム面のみ、底面を含まない
底面積	$A_b = \pi r^2$	平円面
全表面積	$A = 3\pi r^2$	ドーム面＋底面

導出

体積

球の体積は $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ です。半球はその半分であることから、

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

積分による導出もできます。高さ $h$ での断面の半径が $\sqrt{r^2 - h^2}$ となることを利用し、$h = 0$ から $h = r$ まで積分すると、

$V = \int_0^r \pi(r^2 - h^2)\,dh = \pi\!\left[r^2 h - \frac{h^3}{3}\right]_0^r = \frac{2}{3}\pi r^3$

曲面積

球の全表面積は $4\pi r^2$ です。ドーム（半球の曲面）はその半分であるため、

$A_c = \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2$

底面積と全表面積

底面は半径 $r$ の円であるため、

$A_b = \pi r^2$

全表面積は曲面積と底面積の和です。

$A = A_c + A_b = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

半球と球の比較

計量値	半球	球	比
体積	$\dfrac{2}{3}\pi r^3$	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$	1/2
曲面積	$2\pi r^2$	$4\pi r^2$	1/2
全表面積	$3\pi r^2$	$4\pi r^2$	3/4

体積と曲面積はいずれも球の半分ですが、全表面積は球の 3/4 となります。底面の円（$\pi r^2$）が加わるためであり、この点は計算でよく間違えやすい箇所です。「全表面積＝球の半分」という誤解に注意が必要です。

計算例

半径 10 cm の半球形ボウルを例に計算します。

体積： $V = \frac{2}{3}\pi (0.10)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0.001 \approx 0.002094 \text{ m}^3 = 2{,}094 \text{ cm}^3$

曲面積： $A_c = 2\pi (0.10)^2 = 2\pi \times 0.01 \approx 0.0628 \text{ m}^2 = 628.3 \text{ cm}^2$

底面積： $A_b = \pi (0.10)^2 = \pi \times 0.01 \approx 0.0314 \text{ m}^2 = 314.2 \text{ cm}^2$

全表面積： $A = 3\pi (0.10)^2 = 3\pi \times 0.01 \approx 0.0942 \text{ m}^2 = 942.5 \text{ cm}^2$

半径の拡大縮小と各計量値の変化

体積は半径の3乗、表面積は半径の2乗に比例して変化します。

半径の変化	体積の変化	表面積の変化
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

この関係は、容器の容量設計や建築物のドーム設計において重要な指針となります。

関連計算：球の体積（球の体積・表面積の計算）、円錐の体積（円錐の体積・表面積の計算）

よくある質問 (FAQ)

半球の体積はどのような式で求めますか？

半球の体積は V = (2/3)πr³ で求めます。これは球の体積 (4/3)πr³ のちょうど半分です。例として半径 r = 5 cm の場合：r³ = 0.05³ = 0.000125 m³ より、V = (2/3) × π × 0.000125 ≈ 0.000262 m³ = 261.8 cm³ となります。

半球の全表面積には底面（平円面）が含まれますか？

含まれます。全表面積 = 曲面積（2πr²）+ 底面積（πr²）= 3πr² です。ドーム面のみが必要な場合は曲面積 2πr² を使用してください。r = 5 cm の場合：曲面積 = 2π × 25 ≈ 157.1 cm²、底面積 = π × 25 ≈ 78.5 cm²、全表面積 ≈ 235.6 cm² です。

半球と球の体積・表面積はどのように違いますか？

半球の体積は同じ半径の球の半分（V = (2/3)πr³ に対して球は (4/3)πr³）です。曲面積（2πr²）も球の表面積（4πr²）の半分です。ただし全表面積（3πr²）は球の 4πr² の3/4となります。底面の円 πr² が加わるためです。

半球の曲面積だけを求める式はどれですか？

ドーム状の曲面積は A_c = 2πr² です（底面は含みません）。r = 5 cm の場合：A_c = 2 × π × 25 ≈ 157.1 cm²。底面積（πr² ≈ 78.5 cm²）を加えると全表面積 3πr² ≈ 235.6 cm² になります。