最終更新: 2026-05-19

余弦定理とは

余弦定理（コサイン定理）は、三角形の3辺 a・b・c と、辺 c の対角 C の余弦を結びつける公式です。

c² = a² + b² − 2ab cos C

この1本の式だけで、三角形を解く2つの典型問題に対応できます。

• SAS（二辺夾角）： 2辺とその挟角がわかっている場合。余弦定理で第3辺 c を求めます。

• SSS（三辺既知）： 3辺すべてがわかっている場合。式を3回変形して3つの角度をすべて求めます。

  A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
  B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
  C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

計算例：SAS

土地の測量で、三角形の区画の2辺が 83 m と 112 m、その挟角が 54° とわかりました。第3辺の長さは？

• a = 83、b = 112、C = 54°
• c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54°
• c² = 6 889 + 12 544 − 18 592 × 0.5878
• c² ≈ 19 433 − 10 931 ≈ 8 502
• c ≈ 92.2 m

計算例：SSS

庭の三角形の区画の3辺が 5 m・7 m・6 m です。各頂点の角度は？

• A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44.4°
• B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78.5°
• C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57.1°

確認のため3角を合計すると 44.4° + 78.5° + 57.1° = 180° となり、内角の和の条件を満たします。

公式が成り立つ理由：ピタゴラスの定理との関係

ピタゴラスの定理の計算 （c² = a² + b²）は余弦定理の特殊ケースです。角 C がちょうど 90° のとき、cos 90° = 0 となり「2ab cos C」の項が消えて c² = a² + b² に戻ります。

その他の角度では：

• C < 90°（鋭角）のとき：cos C > 0 なので引き算の項が加わり c は短くなります。三角形が「閉じる」イメージです。
• C > 90°（鈍角）のとき：cos C < 0 になるため項が足し算に変わり、c は直角三角形の場合より長くなります。

この直感は、ベクトルの内積（一方のベクトルが他方にどれだけ射影されるか）の定義から直接導かれます。

余弦定理と正弦定理の使い分け

与えられた情報	使う公式
2辺とその挟角（SAS）	余弦定理
3辺すべて（SSS）	余弦定理
2角と1辺（AAS / ASA）	正弦定理
2辺と非挟角（SSA）	正弦定理（2解の曖昧さに注意）

正弦定理は「1辺とその対角のペア」が揃っている場合に計算が簡単です。一方、余弦定理には曖昧さがなく、SAS・SSS の状況で確実に一意の解が得られます。

三角不等式

3辺が三角形を作るには、どの辺も他の2辺の和より短い必要があります（三角不等式）。条件を満たさない場合（例：辺 1・2・10）、arccos の引数が [−1, 1] の範囲外になり計算不能です。計算機はこの場合にエラーを表示します。

確認方法：辺を昇順に並べ、短い2辺の和が最長辺より大きいかを確かめます。

計算機の使い方

SASモードでは「SAS — 辺 c を求める」を選択し、辺 a・b とその挟角 C（度単位）を入力すると、第3辺 c が表示されます。

SSSモードでは「SSS — 角度を求める」を選択し、3辺 a・b・c を入力すると、3つの角度 A・B・C が度単位で表示されます。測量・建築・ベクトル計算など、直角三角形に限らない一般の三角形を扱う場面で利用できます。

よくある質問 (FAQ)

余弦定理とピタゴラスの定理はどう違いますか？

余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C は、ピタゴラスの定理を直角三角形以外に拡張したものです。C = 90° のとき cos 90° = 0 となり、式は c² = a² + b² に戻ります。鋭角（C < 90°）では 2ab cos C が正になるため c は小さくなり、鈍角（C > 90°）では cos C が負になるため c は大きくなります。

余弦定理と正弦定理、どちらを使えばよいですか？

2辺とその挟角（SAS）、または3辺（SSS）がわかっている場合は余弦定理を使います。正弦定理は「1辺とその対角のペア」が揃っている場合に計算が簡単ですが、SSA（2辺と非挟角）では解が2通り生じる曖昧さが残ります。余弦定理には曖昧さがなく、必ず一意の解が得られます。

SASモードでは何が求められますか？

2辺 a・b とその挟角 C から、対辺 c を c = √(a² + b² − 2ab cos C) で求められます。例：a = 5、b = 7、C = 60° のとき c = √(25 + 49 − 35) = √39 ≈ 6.245。3辺がそろえば、今度は SSSモードに切り替えて残りの2角を計算できます。

入力した3辺が三角形を作れない場合はどうなりますか？

3辺が三角形を成立させるには「三角不等式」—どの1辺も他の2辺の和より短い—を満たす必要があります。条件を満たさない場合（例：辺 1、2、10）、余弦定理の arccos の引数が [−1, 1] の範囲外となり計算できません。エラーメッセージが表示されます。確認方法：辺を短い順に並べ、短い2辺の和が最長辺より大きいかを確かめてください。