最終更新: 2026-06-23

この計算で求められること

要約統計量から2標本t検定を実行します。独立した2群の平均・標準偏差・標本サイズを与えると、t統計量、自由度、両側p値を算出します。これらは、2群の平均の差が標本の偶然変動だけでは説明しきれないほど大きいかどうかを判断するための基本的な指標です。

2標本t検定が答える問い

2つの群が異なる平均を示したとします。処置群と対照群、A案とB案、2つの工場から採取した標本などです。背後の過程が同じであっても、標本ごとに無作為な変動が含まれるため、平均がぴったり一致することはまずありません。2標本t検定は次の問いに精密に答えます。もし2つの母集団の平均が真に等しいとしたら、これほど大きな差が観測されることはどれほど意外なのか。 その答えがp値です。

ウェルチのt統計量

本計算では、2群が共通の分散をもつと仮定しないウェルチのt検定を用います。t統計量は、平均の差をその差の標準誤差で割った値です。

ここで $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ は標本平均、$s_1, s_2$ は標本標準偏差、$n_1, n_2$ は標本サイズです。分母が標準誤差で、群のばらつきが大きいほど増え、標本が大きいほど小さくなります。したがって、同じ平均の差でも、データが多いほど確かな差として現れます。

プール（スチューデント）検定よりウェルチを選ぶ理由

古典的なスチューデントのt検定は、両群の標準偏差をプールして1つの分散推定値にまとめますが、これが正しいのは2つの母集団の分散が等しい場合に限られます。上の式が示すとおり、ウェルチの方法は2つの分散を分離したまま扱います。現実のデータでは分散が等しいことはむしろ例外であるため、ウェルチの検定が既定として推奨されます。分散がたまたま一致するときはプール検定とほぼ同じ性能を示し、一致しないとき、とりわけ群の標本サイズも異なるときにも正確さを保ちます。

自由度（ウェルチ・サタスウェイト）

分散をプールしないため、参照する分布の自由度は単純な整数になりません。ウェルチの検定ではウェルチ・サタスウェイトの式で自由度を近似します。

結果は一般に整数にならず、$n_1 - 1$ と $n_2 - 1$ のうち小さい方と、両者の和との間に収まります。自由度が小さいほどt分布の裾は厚くなり、標本が少ない場合や不均衡な場合に、検定が適切に慎重になります。

p値とその読み方

$t$ と $df$ が定まると、両側p値は次のようになります。

ここで $F_t$ はt分布の累積分布関数です。2倍と絶対値は両方向の差を数えるためのもので、第1群の平均が大きい場合と第2群の平均が大きい場合の双方を含みます。

p値は、データを見る前に選んだ有意水準 $\alpha$（慣例的に0.05）と比較します。

• p < α ― 差は統計的に有意であり、平均が等しいという仮定に反する証拠がデータから得られます。
• p ≥ α ― 平均が等しいという仮定を棄却するだけの証拠がデータから得られません（これは等しいと証明することとは異なります）。

p値は平均が等しい確率ではなく、有意でない結果も「差がない」ことの証明にはなりません。p値が測るのは、データが平均は等しいという仮定とどれだけ整合するかという一点だけです。

計算例

第1群は平均10、標準偏差2、観測数30、第2群は平均12、標準偏差2.5、観測数30とします。

$p \approx 0.0012$ は0.05を大きく下回るため、2群の平均の差は統計的に有意です。

有意なp値は差が検出できることを示すだけで、その差がどれほど大きいかは示しません。平均の差を標準偏差単位で表し、標本サイズが大きくなっても膨張しない効果量の指標、たとえば 効果量（コーエンのd） と併用してください。

前提条件

2標本t検定はいくつかの条件を前提とします。

• 独立性 ― 2群が互いに独立で、各群内の観測も互いに独立であること。対応のある測定や反復測定には、代わりに対応のあるt検定が必要です。
• おおよその正規性 ― 各群がおおむね正規分布に従うか、あるいは標本が十分大きく、中心極限定理により平均の標本分布が近似的に正規になること。標本サイズが中程度で極端な歪みがなければ、検定はかなり頑健です。
• 分散が等しくなくてよい ― ウェルチの形式は群ごとの分散の違いを直接扱うため、ばらつきが等しいことを検定したり仮定したりする必要はありません。

2つの平均を比較する際は、ウェルチのt検定を日常的な既定として用いるのが妥当です。検定統計量がすでに要約統計量ではなく標準化されたzである場合は、Z値からのp値の計算 が正規分布を用いてそれをp値に変換します。