最終更新: 2026-07-01

この計算ツールでできること

このツールは、未知数 x・y・z を持つ3つの一次方程式からなる連立方程式を解きます。

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

12個の係数と定数を入力すると、クラメールの公式によって唯一解 (x, y, z) を返します。係数行列が特異な場合は「唯一解なし」と表示します。

3元連立方程式のクラメールの公式

クラメールの公式は、各未知数を行列式の比として表します。まず係数行列の行列式を求めます。

$$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)$$

D ≠ 0 のとき、唯一解は次のとおりです。

$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$

各分子の行列式は、係数行列の1つの列を定数列 (d₁, d₂, d₃) で置き換えたものです。

$$D_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$

これは線形代数から直接導かれます。正則行列 A に対して Av = d の解は v = A⁻¹d であり、クラメールの公式はその逆行列を行列式で書き下したものです。

幾何学的な意味

各方程式は3次元空間の平面を表します。連立方程式を解くことは、3つの平面が交わる点を求めることに相当します。

• D ≠ 0（唯一解）： 3つの平面はちょうど1点で交わり、係数行列は正則です。
• D = 0（唯一解なし）： 平面が1点で交わらない配置です。共通の直線を共有する（不定）か、共通点がまったくない（解なし）かのいずれかで、クラメールの公式では1つの解を返せません。

計算例

初期値の連立方程式を解きます。

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

ステップ1 — 係数行列の行列式：

$$D = 2\big((-1)(2) - (2)(1)\big) - 1\big((-3)(2) - (2)(-2)\big) + (-1)\big((-3)(1) - (-1)(-2)\big)$$ $$D = 2(-4) - 1(-2) + (-1)(-5) = -8 + 2 + 5 = -1$$

D ≠ 0 なので唯一解があります。

ステップ2 — x を求める（x 列を定数で置換）：

$$D_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -11 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{-1} = 2$$

ステップ3 — y を求める（y 列を定数で置換）：

$$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -11 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3}{-1} = 3$$

ステップ4 — z を求める（z 列を定数で置換）：

$$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & -1 & -11 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{-1} = -1$$

検算：

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

行列式が0のとき

D = 0 のとき、係数行列の3つの行は一次従属であり、ある式が他の式の組み合わせになっています。次の2通りが考えられます。

• 不定（解が無数）： 定数が従属関係と整合しており、平面が共通の直線を共有します。
• 解なし： 定数が従属関係と矛盾しており、平面が1点で交わりません。

クラメールの公式は D ≠ 0 のときにのみ適用できるため、D = 0 になると「唯一解なし」と表示します。どちらの退化ケースかを正確に分類するには、拡大係数行列をガウスの消去法で簡約し、係数行列と拡大係数行列の階数を比較します。

応用例

3元連立一次方程式は、代数や数学の学習だけでなく、回路解析（3つの閉路に対するキルヒホッフの法則）や化学反応式の係数決定など、3つの一次条件を同時に満たす必要がある場面に現れます。クラメールの公式は閉じた式で解を直接与えるため、小規模な連立方程式の検算や、解を記号のまま表したいときに便利です。

よくある質問 (FAQ)

行列式が0かどうかで何がわかるの？

係数行列の行列式 D は、解が一意に定まるかどうかを判定します。D ≠ 0 のとき3つの平面はちょうど1点で交わり、x・y・z が一意に決まります。D = 0 のときは平面が共通の直線を共有するか、まったく交わらない配置になっており、クラメールの公式では一つの解を返せません。

クラメールの公式と消去法はどう違うの？

ガウスの消去法や代入法は行基本変形を順に行って同じ答えに到達します。クラメールの公式は各未知数を行列式の比として直接書き下します（x = Dₓ/D、y = D_y/D、z = D_z/D）。閉じた式が必要なときや記号のまま扱いたいときに便利ですが、規模が大きい連立方程式では消去法のほうが速いのが一般的です。

「唯一解なし」と表示されるのはなぜ？

このメッセージは D = 0 のときに表示されます。3つの式が一次従属になっており、少なくとも1つが他の組み合わせで表せる状態です。定数の値しだいで、解が無数に存在する（平面が直線を共有）か、解なし（平面が1点で交わらない）かのどちらかになります。クラメールの公式は D ≠ 0 のときにのみ適用できるため、ここで計算を止めます。

求めた解を確かめるには？

得られた x・y・z を元の3式すべてに代入してください。各左辺がそれぞれの右辺（d₁・d₂・d₃）に一致するはずです。解は厳密な行列式の比から計算されるため、表示される小数にわずかな丸めが生じても正常です。内部の値はフル精度で方程式を満たしています。