最終更新: 2026-05-18

トーラスとは

トーラスは、円をその平面内にある外部の軸の周りに回転させてできる立体です。形を決めるのは2つの半径だけで、大半径 R（トーラスの中心軸から管の中心までの距離）と小半径 r（管の断面の半径）で記述されます。ドーナツ、タイヤチューブ、Oリング、浮き輪などが身近な例です。

この計算では R と r を入力して体積と表面積を求めます。

計算式

どちらの公式もパップスの定理（重心定理）から導かれます。断面が中心軸の周りを一周するとき、移動距離と断面の面積（または周長）の積が体積（または表面積）になります。

体積 — 断面積 $\pi r^2$ が距離 $2\pi R$ だけ移動:

$V = 2\pi^2 R r^2$

表面積 — 断面の周長 $2\pi r$ が距離 $2\pi R$ だけ移動:

$A = 4\pi^2 R r$

トーラスの種類

R と r の大小関係によって形状が変わります。

条件	種類	特徴
R > r	リングトーラス	中央に穴がある（一般的なドーナツ型）
R = r	ホーントーラス	内側の穴が1点に縮んだ形
R < r	スピンドルトーラス	表面が自己交差（物理的には実現不可）

計算機はすべての場合に正しい体積・表面積を出力しますが、自己交差しない物体として実現できるのはリングトーラスだけです。

計算例

問題: 大半径 20 mm、小半径 3 mm のゴム製 Oリングの体積と表面積を求めてください。

R = 0.020 m、r = 0.003 m として:

$V = 2\pi^2 \times 0.020 \times 0.003^2 \approx 3.55 \text{ cm}^3$

$A = 4\pi^2 \times 0.020 \times 0.003 \approx 23.69 \text{ cm}^2$

タイヤチューブ（ビード部 R ≈ 30 cm、断面半径 r ≈ 7 cm）であれば、$V \approx 2\pi^2 \times 0.30 \times 0.07^2 \approx 29 \text{ L}$ と見積もれます。

よくある質問 (FAQ)

トーラスの体積を求める公式は何ですか？

トーラスの体積はV = 2π²Rr²で求められます。Rは大半径（トーラスの中心軸からチューブ中心までの距離）、rは小半径（チューブ自体の半径）です。例えばR = 10 cm、r = 3 cmのトーラスでは、V = 2 × π² × 0.10 × 0.03² ≈ 1 777 cm³になります。この公式はパップスの定理から導かれ、円形断面の面積（πr²）に重心が移動する距離（2πR）を掛けた値に等しくなります。

トーラスの大半径と小半径の違いは何ですか？

大半径Rはトーラスの中心軸からチューブの中心まで測った距離で、リング全体の大きさを決定します。小半径rはチューブ自体の半径で、リングの太さを決定します。一般的なリング状のトーラス（リングトーラス）ではR > rを満たす必要があります。R = rのときは内側の穴がなくなりホーントーラスになり、R < rのときは自己交差してスピンドルトーラスになります。

リングトーラスとは何ですか？

リングトーラスはR > rを満たす一般的なドーナツ型で、中心に穴が開いています。数学や工学で最もよく見られる形状で、Oリングや浮き輪、チューブなどに使われています。R = rになると内側の穴が点に縮まりホーントーラスになり、R < rになると中心部で自己交差してスピンドルトーラスになります。この計算機は3種類すべてについて体積と表面積を正しく計算できますが、物理的に実現可能（自己交差なし）なのはリングトーラスのみです。