最終更新: 2026-05-26

定積分とは

定積分とは、関数 $P(x)$ と $x$ 軸の間の面積を、区間 $[a, b]$ 上で数値として求める操作です。

$\int_a^b P(x)\,dx$

ここで「面積」は符号付きです。$x$ 軸より下にある部分は負の値として加算されます。したがって結果は関数ではなく、一つの実数になります。

微積分学の基本定理

定積分を実際に計算可能にする中心的な定理が、微積分学の基本定理です。

$\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a)$

ここで $F(x)$ は $P(x)$ の原始関数、すなわち $F'(x) = P(x)$ を満たす関数です。

無限に細かいリーマン和を取る代わりに、次の手順だけで定積分が求まります。

1. 原始関数 $F(x)$ を求める。
2. 上限 $b$ と下限 $a$ で $F$ を評価する。
3. 差 $F(b) - F(a)$ を計算する。

冪乗則による積分

多項式の各項の原始関数は、冪乗則（べき乗則）によって求められます。

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$

この規則を各項に適用して和をとれば、多項式全体の原始関数を厳密に計算できます。

計算例 — $\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx$

項	冪乗則の適用	原始関数の項
$3x^2$	$3 \cdot \dfrac{x^3}{3}$	$x^3$
$\mathord{-1}$	$-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}$	$-x$

よって $F(x) = x^3 - x$ です。

$\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6$

係数の入力方法

係数は最高次から定数項に向かって、カンマ区切りで入力します。

多項式	係数の入力例
$x^2$	1, 0, 0
$3x^2 - 1$	3, 0, -1
$2x^3 + x - 5$	2, 0, 1, -5
$7$（定数）	7

入力した値の個数が次数を決定します。値が 4 個あれば 3 次多項式です。$x^2$ の係数が 0 であっても省略せずに入力する点に注意してください。

符号付き面積と積分区間の向き

定積分は符号付き面積を与えます。これには二つの重要な性質があります。

$x$ 軸より下にある場合： その区間の寄与は負になります。たとえば $\int_0^1 (-x)\,dx = -\dfrac{1}{2}$ であり、幾何的な面積は $\dfrac{1}{2}$ であっても積分値は負です。

$a > b$ の場合： 積分は $b$ から $a$ へ積分した値の符号を反転したものになります。

$\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx$

これはエラーではなく、定積分の基本的な性質です。計算ツールはこの場合も正しく処理します。

積分定数について

不定積分では解の族を $F(x) + C$（$C$ は任意定数）と書きます。しかし定積分では $C$ は相殺されます。

$[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

定積分の計算において積分定数は最終結果に影響しないため、表示する原始関数からは省略するのが慣例です。

数値積分が必要な場合

冪乗則が適用できるのは非負整数乗の多項式に限られます。それ以外の関数には別の方法が必要です。

被積分関数の種類	主な対処法
$\sin x$、$\cos x$、$e^x$	既知の原始関数を利用（厳密計算）
有理関数、代数関数	部分分数分解、置換積分
原始関数が閉形式で存在しない	シンプソン則、ガウス積分法

多項式として表せない被積分関数には、このツールは適していません。数値積分法または数式処理システム（CAS）の利用を検討してください。

定積分の応用

定積分は理工学・経済学の広い分野で用いられます。

• 力学： 速度から変位を求める（$\int v\,dt$）、力のする仕事（$\int F\,dx$）。
• 経済学： 需要曲線と価格水準の間の面積による消費者余剰の計算。
• 確率論： 連続確率変数が区間 $[a, b]$ に属する確率は $\int_a^b f(x)\,dx$（$f$ は確率密度関数）。
• 幾何学： 二曲線の間の面積、回転体の体積。

よくある質問 (FAQ)

このツールで積分できる関数に制限はありますか

計算対象は多項式のみです。P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ の形で表される関数に限られます。各項に冪乗則を適用することで原始関数を厳密に求められるため、誤差のない数値が得られます。sin や eˣ、ln x などの多項式以外の関数を積分する場合は、シンプソン則やガウス積分法などの数値積分を使用してください。

積分下限が上限より大きい場合（a > b）はどうなりますか

正しい符号付き面積が計算されます。定積分の性質として ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx が成り立つため、a > b の場合は b から a に積分した値の符号を反転した結果になります。これは数学的に正当であり、重積分や流束積分を扱う際にも利用される性質です。

原始関数とは何ですか、なぜ役立つのですか

P(x) の原始関数 F(x) とは、微分すると P(x) になる関数のことです。単項式 aₙxⁿ に対して冪乗則を適用すると aₙxⁿ⁺¹/(n+1) が得られます。多項式の場合は各項にこの規則を適用して和をとれば F(x) が求まります。微積分学の基本定理により ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a) が成り立つため、積分が単純な代入計算に帰着します。

積分定数 C はなぜ表示されないのですか

定積分を評価する際、積分定数 C は消去されます。[F(x) + C] を a から b まで評価すると (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a) となり、C は結果に影響しません。そのため、定積分では積分定数を省略するのが慣例です。積分定数が意味を持つのは、解の族を F(x) + C と表す不定積分の場合だけです。