最終更新: 2026-07-01

2つのベクトルのなす角

始点を共有する2つのベクトルの間には角ができます。この角は2つのベクトルがどれだけ同じ向きを向いているかを表します。角が小さければほぼ同じ向き、直角なら垂直、平角なら反対向きです。内積を使うと、この幾何学的な考えを成分から計算できる公式に変えられます。

公式

2つのベクトルの内積となす角は次の式で結ばれています。

これを角について解くと、実際に使う公式が得られます。

括弧の中はなす角の余弦です。大きさで割ることで長さが消えるため、向きだけが効きます。どちらのベクトルを定数倍しても角は変わりません。

各要素

• 内積：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$。
• 大きさ：$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$、$\mathbf{b}$ も同様。
• 余弦：内積を大きさの積で割ります。結果は必ず −1 から 1 の間に収まります。
• 角：逆余弦をとります。答えは 0° から 180° の間になります。

計算例

a = (1, 0, 0)、b = (1, 1, 0) とします。

内積は

大きさは

したがってなす角の余弦は

なす角は

直交の判定

直角はもっとも見分けやすい場合です。内積がちょうど 0 のとき余弦も 0 になり、なす角は 90°、つまり2つのベクトルは垂直（直交）です。a = (1, 0)、b = (0, 1) では内積が $(1)(0) + (0)(1) = 0$ なので、なす角は 90° です。$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ を調べることが、2つの向きが直角かどうかを確かめる標準的な方法です。

同じ向きと反対向き

範囲の両端には次の2つの基準となる場合があります。

• 2つのベクトルが同じ向きのとき、余弦は 1、なす角は 0°。
• 反対向きのとき、余弦は −1、なす角は 180°。

それ以外の組はすべてこの2つの間にあります。だからこそ2つのベクトルのなす角は常に 0° から 180° の範囲に収まります。

度数法と弧度法

同じ角はどちらの単位でも読めます。度数法は一周を 360 等分し、弧度法は単位円上の弧の長さとして角を測り、一周が $2\pi$ になります。換算は $180° = \pi\ \text{rad}$ なので、45° は $\pi/4$、90° は $\pi/2$ です。結果の単位を切り替えて、問題に合う形で確認してください。

2次元と3次元

公式は2次元でも3次元でも同じで、変わるのは成分の積の数だけです。平面の2次元問題ではz成分を両方とも 0 にすれば、内積・大きさ・なす角はすべて z の項が初めからなかったときと同じ結果になります。

活用される場面

• 物理：力がする仕事は力と変位のなす角に依存します。$W = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$。
• コンピューターグラフィックス：面の法線と光の向きのなす角が面の明るさを決めます。
• ナビゲーションと幾何：2つの方位の差や、辺ベクトルから図形の角を求めます。
• 機械学習：特徴ベクトル間のコサイン類似度は、ここで計算するなす角の余弦そのものです。