最終更新: 2026-06-04

幾何分布は、独立したベルヌーイ試行を繰り返すとき、初めて成功するまでの試行回数が従う離散確率分布です。各試行は同一の成功確率 $p$ を持ち、互いに独立しているという条件のもとで成立します。待ち時間のモデルとして、信頼性工学・品質管理・通信工学など幅広い分野に応用されています。

確率関数と累積分布関数

この計算機では、確率変数 $X$ を「初めて成功した試行の番号」と定義します（$X \geq 1$）。

期待値と分散はそれぞれ次のとおりです。

公式の導出

$k$ 回目の試行で初めて成功するためには、次の二つの事象が同時に起こる必要があります。

①第 1 回から第 $k-1$ 回まで、すべて失敗する（各試行の失敗確率は $1-p$、試行は独立）。

②第 $k$ 回目で成功する（確率 $p$）。

試行が独立しているため、①の確率は $(1-p)^{k-1}$、②の確率は $p$ です。これらを掛け合わせると：

累積分布関数は余事象から導かれます。$P(X \leq k)$ の余事象は「$k$ 回の試行がすべて失敗する」事象で、その確率は $(1-p)^k$ です。したがって：

計算例

ある工場の製品検査ラインで、不良品の混入率が 20%（$p = 0.2$）だとします。検査員が製品を 1 つずつ順番に確認するとき、ちょうど 4 個目で初めて不良品が見つかる確率は次のように計算できます。

約 10.2% です。また、4 個目までに少なくとも 1 個の不良品が見つかる累積確率は：

約 59% となります。不良品が見つかるまでの平均検査個数は $\mu = 1/0.2 = 5$ 個です。

幾何分布の定義について

幾何分布には二通りの定義が広く使われています。

• 試行回数の定義（$X \geq 1$）： $X$ を初めて成功した試行の番号とする。期待値は $1/p$。
• 失敗回数の定義（$X \geq 0$）： $X$ を初めて成功するまでの失敗回数とする。期待値は $(1-p)/p$。

二つの定義では添字が 1 ずれるため、参照している教科書や論文がどちらの定義を採用しているか確認することが重要です。この計算機は前者（試行回数の定義）を使用しています。

無記憶性

幾何分布は、離散分布の中で無記憶性を持つ唯一の分布です。$m$ 回連続して失敗した後も、残りの試行で成功するまでの回数の分布は、最初から始めた場合と変わりません。

たとえば、コインを 5 回投げてすべて裏が出たとしても、次の試行で表が出る確率は依然として $p$ のままです。この性質は、待ち行列理論や逐次検定など、過去の結果を「リセット」して考えられる場面で活用されます。

他の分布との関係

幾何分布は負の二項分布の特殊な場合です。負の二項分布は「$r$ 回成功するまでに必要な試行回数」を一般的にモデル化したもので、$r = 1$ とおくと幾何分布の確率関数と一致します。また、独立な $r$ 個の幾何確率変数の和は負の二項分布に従います。

成功確率 $p$ が小さく試行回数 $n$ が多い状況では、一定回数内の成功数がポアソン分布に近似できる場合もあります。

応用

• 品質管理： 不良品の混入率が既知のロットで、最初の不良品が何番目に現れるかを推定します。
• 通信工学： パケット再送プロトコルにおいて、最初の送信成功までに必要な再送回数を分析します。
• 疫学・臨床研究： 固定した組み入れ確率のもとで、適格患者が何人目に見つかるかを計算します。
• マーケティング： 転換率が一定と仮定したとき、初めて成約に至るまでのコンタクト回数の期待値を求めます。