最終更新: 2026-06-05

この計算機でできること

この計算機では、2つの正方行列 A と B を入力して積 C = A·B を求めます。2×2 と 3×3 の2つのモードに対応しており、各成分を入力すると積行列がリアルタイムで更新されます。

積行列の第 $i$ 行・第 $j$ 列の成分 $c_{ij}$ は、A の第 $i$ 行と B の第 $j$ 列の内積として定義されます。

$$c_{ij} = \sum_{k} a_{ik} \, b_{kj}$$

行列の積の計算方法

積の各成分は、A の行ベクトルと B の列ベクトルを組み合わせることで計算されます。2×2 行列では次のようになります。

$$C = A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

n×n 行列の積では、各成分の計算に n 回の乗算と (n−1) 回の加算が必要です。全成分の計算量は O(n³) となります。

計算例（2×2）

A = [[1, 2], [3, 4]]、B = [[5, 6], [7, 8]] の場合を手順で追います。

成分 (1,1) — A の第 1 行と B の第 1 列の内積：

$c_{11} = 1 \times 5 + 2 \times 7 = 5 + 14 = 19$

成分 (1,2) — A の第 1 行と B の第 2 列の内積：

$c_{12} = 1 \times 6 + 2 \times 8 = 6 + 16 = 22$

成分 (2,1) — A の第 2 行と B の第 1 列の内積：

$c_{21} = 3 \times 5 + 4 \times 7 = 15 + 28 = 43$

成分 (2,2) — A の第 2 行と B の第 2 列の内積：

$c_{22} = 3 \times 6 + 4 \times 8 = 18 + 32 = 50$

よって A·B = [[19, 22], [43, 50]] です。

非可換性

行列の積は一般に交換できません。上の A·B と B·A を比較すると：

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$$

A·B = [[19, 22], [43, 50]] に対し、B·A = [[23, 34], [31, 46]] となり、両者は異なります。スカラーでは 3×5 = 5×3 が常に成り立ちますが、行列ではそうではありません。

この非可換性には幾何学的な意味があります。A·B は「まず B の変換を行い、次に A の変換を行う」という操作の合成を意味します。変換を適用する順序が変われば、最終的な結果も変わります。

幾何学的な意味

正方行列は、ベクトルの集合に対する線形変換（回転・拡大縮小・鏡映・せん断などの組み合わせ）を表します。A·B を計算することは、「B の変換の後に A の変換を適用する」という2つの操作を1つにまとめることに相当します。

この合成の構造から、行列の積は結合的（A·(B·C) = (A·B)·C）でありながら、非可換という性質が生まれます。

単位行列

n×n の単位行列 I は、対角成分がすべて 1 で残りが 0 の行列です。スカラーにおける「1」と同様の役割を果たします。

$A \cdot I = I \cdot A = A$

どの正方行列に対しても、単位行列との積はもとの行列になります。幾何学的には、単位行列は「何もしない変換」（回転も拡大縮小もない恒等変換）に対応します。

応用

行列の積は、複数の線形変換を連続して適用する場面で広く使われます。

• 3D コンピュータグラフィックス — 回転・拡大縮小・平行移動はそれぞれ 4×4 行列（同次座標系）として表現されます。複数の変換行列を事前に掛け合わせて1枚の合成行列を作ると、各頂点に対して1回の行列・ベクトル積だけで全変換を適用できます。GPU が行列演算に特化して設計されているのも、この性質に基づいています。
• 連立方程式 — Ax = b の形の連立方程式は、係数行列 A の逆行列 A⁻¹ を用いて x = A⁻¹b として解けます。連立方程式の解き方は 2元連立一次方程式の解（クラメールの公式）で確認できます。
• マルコフ連鎖 — 推移確率行列を k 回自乗することで、k ステップ後の確率分布を求められます。
• ニューラルネットワーク — 全結合層は行列の積（アフィン変換）を核とした計算で、各層の重み行列を順に適用することで入力から出力への変換が実現されます。

よくある質問 (FAQ)

行列の積は交換できますか（A·B = B·A は成り立ちますか）？

一般には成り立ちません。たとえば A = [[1,2],[3,4]]、B = [[5,6],[7,8]] とすると、A·B = [[19,22],[43,50]] に対し B·A = [[23,34],[31,46]] となり、両者は異なります。単位行列や対角行列など一部の特殊な行列対については交換法則が成立しますが、それは例外です。

行列の積は幾何学的にどのような意味を持ちますか？

各行列は空間の線形変換（回転・鏡映・拡大縮小・せん断などの組み合わせ）を表します。A·B を計算することは、「まず B を適用し、次に A を適用する」という変換の合成に対応します。適用する順序が異なれば結果も変わるため、積の順序が重要になります。

正方行列でない場合でも積は求められますか？

はい、A の列数と B の行数が等しければ積を定義できます。m×n 行列と n×p 行列の積は m×p 行列になります。この計算機は線形代数の基礎課程や 2D・3D グラフィックスでよく使われる 2×2 と 3×3 の正方行列に絞って対応しています。

3D コンピュータグラフィックスで行列の積はどのように使われますか？

3D グラフィックスでは、物体の回転・拡大縮小・平行移動などの変換がそれぞれ 4×4 行列（同次座標系）として表現されます。複数の変換を連続して適用する場合、それらの行列を事前にまとめて積を取ることで 1 枚の合成変換行列を得ることができます。その後は各頂点にこの 1 枚の行列を掛けるだけで処理が完了します。GPU が行列演算に特化して最適化されているのも、この仕組みが根拠となっています。