ホーム 数学 ベクトルの大きさの計算 作成日: 2026年7月20日 21:33 ベクトルの大きさの計算 入力 成分（コンマ区切り）3, 4 グラフ ベクトルの大きさ図原点から点Pへのベクトルの矢印、水平・垂直の各成分を示す破線、および斜辺に沿った大きさラベル‖v‖を表示した2次元座標平面。xyOPvₓvᵧ‖v‖ 数学 ベクトルの大きさの計算 コンマ区切りの成分からn次元ベクトルの大きさ（ノルム）と単位ベクトルを計算します。2次元・3次元・高次元に対応。 入力 ベクトルの大きさ図原点から点Pへのベクトルの矢印、水平・垂直の各成分を示す破線、および斜辺に沿った大きさラベル‖v‖を表示した2次元座標平面。xyOPvₓvᵧ‖v‖ 成分（コンマ区切り） v 結果 値を入力すると計算結果が表示されます。 大きさ |v| 詳細 次元数 n 単位ベクトル v̂ unit_{\text{vector}} 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-05-19 ベクトルの大きさとは ベクトルの大きさとは、原点からベクトルの先端までの直線距離のことです。n次元ベクトル v = (v₁, v₂, …, vₙ) のユークリッドノルムは次の式で定義されます。 ∣v∣=v12+v22+⋯+vn2=∑i=1nvi2|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} この計算機では、コンマ区切りの成分（例：2次元なら 3, 4、3次元なら 1, 2, 3）を入力すると、大きさ・次元数・同じ向きを持つ単位ベクトルをまとめて求めることができます。 公式の由来 この公式は三平方の定理（ピタゴラスの定理）をn次元に拡張したものです。2次元では、ベクトル (a, b) は直角三角形の斜辺を成すため ∣v∣=a2+b2|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} となります。3次元では、ベクトル (a, b, c) は直方体の体対角線に対応し ∣v∣=a2+b2+c2|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} です。次元数がいくつであっても考え方は同じで、全成分の2乗を合計して平方根を取るだけです。 計算例 問題： ベクトル v = (3, 4, 12) の大きさと単位ベクトルを求めなさい。 ステップ1 — 各成分を2乗して合計する： 32+42+122=9+16+144=1693^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169 ステップ2 — 平方根を取る： ∣v∣=169=13|\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13 ステップ3 — 各成分を大きさで割って単位ベクトルを求める： v^=(313, 413, 1213)≈(0.230769, 0.307692, 0.923077)\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{3}{13},\ \frac{4}{13},\ \frac{12}{13}\right) \approx (0.230769,\ 0.307692,\ 0.923077) 解釈： ベクトル (3, 4, 12) の長さは13です。単位ベクトルはその向きを表しており、「1単位進む間に横方向に3/13、上方向に4/13、奥行き方向に12/13だけ移動する向き」を示しています。 単位ベクトルとは 単位ベクトルとは大きさがちょうど1のベクトルです。元のベクトルの向きを保ったまま、大きさの情報を取り除いたものと考えられます。各成分を |v| で割ることで求められます。 v^=v∣v∣=(v1∣v∣, v2∣v∣, …, vn∣v∣)\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\ \frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\ \ldots,\ \frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right) 単位ベクトルは「向きだけ」を表現したいときに使います。 物理： 力・速度の向き、面の法線方向 3Dグラフィックス： ライティング計算、カメラ姿勢 機械学習： コサイン類似度、特徴量の正規化 測量・ナビゲーション： 変位ベクトルから方位を求める なお、零ベクトル（全成分が0）は大きさが0であるため単位ベクトルは定義できません。 その他のノルム L²ノルム（ユークリッドノルム）が最も一般的ですが、用途に応じて以下のノルムも使われます。 ノルム計算式別名主な用途L¹Σ |vᵢ|マンハッタン距離・タクシー距離スパース推定（LASSO）、格子上の距離L²∑vi2\sqrt{\sum v_i^2}ユークリッドノルム幾何学、物理、コサイン類似度L∞max |vᵢ|チェビシェフ距離チェスの移動数、制御工学 この計算機はL²ノルム（ユークリッドノルム）を計算します。科学・工学における「ベクトルの長さ」は通常このノルムを指します。 主な活用場面 物理： 速度ベクトルの各成分から速さ（大きさ）を求める 3Dグラフィックス： ライティング計算の前に面法線ベクトルを正規化する データサイエンス： コサイン類似度検索の前に特徴ベクトルをL²正規化する ロボット工学： 関節変位ベクトルから手先の到達距離を求める 測量・GPS： (東方向, 北方向, 上方向) の変位から直線距離を計算する 成分の入力について 成分はコンマで区切って入力します：3, 4 や 1, 2, 3、0.5, -1.2, 0.8, 2.0 のように記述してください。 負の成分も問題ありません — 2乗するので符号は結果に影響しません。 小数の成分も使えます：1.5, 2.5 を入力すると |v| ≈ 2.915476 となります。 成分が1つだけ（例：5）の場合、大きさは5、単位ベクトルは (1) になります — これも公式の自然な帰結です。 よくある質問 (FAQ)ベクトルの大きさとは何ですか？ベクトルの大きさ（長さ・ノルムとも呼びます）は、原点からベクトルの先端までの直線距離です。n次元ベクトル v = (v₁, v₂, …, vₙ) の大きさは |v| = √(v₁² + v₂² + ⋯ + vₙ²) で求められます。これはユークリッドノルム（L²ノルム）と呼ばれ、三平方の定理を任意の次元数に拡張したものです。たとえば v = (3, 4) なら |v| = √(9 + 16) = 5 となります。 単位ベクトルはどうやって求めますか？単位ベクトルとは、大きさがちょうど1で、元のベクトルと同じ向きを持つベクトルです。各成分をベクトルの大きさで割ることで求められます：v̂ = v / |v| = (v₁/|v|, v₂/|v|, …, vₙ/|v|)。単位ベクトルは「向きだけ」を表現したいときに使います。具体的には、物理の力の向き・3Dグラフィックスの法線ベクトル・機械学習のコサイン類似度計算などで活用されています。 3次元以上でも同じ公式が使えますか？|v| = √(Σ vᵢ²) という公式は次元数に関わらず成り立ちます。3次元ベクトル (a, b, c) なら √(a² + b² + c²) — これは直方体の体対角線の長さに対応します。4次元以上は図形的に直感しにくいですが、計算の手順はまったく同じです。成分の2乗をすべて足し合わせて平方根を取るだけです。この計算機はコンマ区切りで何次元でも入力できます。 L¹ノルムやL∞ノルムとは何ですか？ユークリッドノルム（L²）以外にも、よく使われるノルムがあります。L¹ノルム（マンハッタン距離）は各成分の絶対値の和：‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + ⋯。スパース推定（LASSO回帰）や格子状の経路距離に使われます。L∞ノルム（チェビシェフ距離）は成分の絶対値の最大値：‖v‖∞ = max(|v₁|, …, |vₙ|)。チェス盤上の移動距離や制御工学で登場します。一般に「ベクトルの長さ」といえばL²ノルム（ユークリッドノルム）を指します。 次のおすすめ 2点間の距離計算 2点の座標から距離の公式 d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²) で直線距離を計算します。Δx・Δy も同時に表示します。 詳しく解説ピタゴラスの定理の計算 ピタゴラスの定理（a² + b² = c²）を使って、直角三角形の任意の辺を計算します。2つの辺を入力すると、残りの1辺を求められます。 詳しく解説中点計算ツール 2点の座標から中点の座標を求める計算機。x₁・y₁・x₂・y₂を入力すると中点公式で計算結果を表示します。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 三角法の他の計算 2つのベクトルのなす角の計算ベクトルの大きさの計算ベクトル射影の計算外積の計算（3次元ベクトル）逆三角関数の計算（arcsin・arccos・arctan）極座標 ⇄ 直交座標の変換 +4 more Show less 三角関数の計算（sin・cos・tan）正弦定理 — AAS（二角一辺）の計算内積の計算余弦定理の計算 数学の他のカテゴリ 代数 2×2 逆行列の計算2×2行列の固有値・固有ベクトルの計算2元連立一次方程式の解（クラメールの公式）3元連立一次方程式の解（クラメールの公式）ガウスの消去法 計算ツール（3×3）シンプソン公式による数値積分の計算一次方程式の計算（ax + b = c）行列の積（2×2・3×3）行列式の計算（2×2・3×3）三次方程式の解指数関数的増加・減衰の計算絶対値方程式の解（|ax + b| = c）多項式の値の計算（ホーナー法）多項式の定積分多項式の微分計算台形公式による数値積分の計算二項定理による (a + b)ⁿ の展開二次方程式の解判別式の計算部分分数分解ツール複素数の計算平方完成の計算平面幾何 2点を通る直線の方程式2点間の距離計算ひし形の面積ピタゴラスの定理の計算円の弦と弧の計算円の方程式の計算円の面積・円周の計算円環面積の計算円弧の長さの計算黄金比の計算三角形の外接円の計算三角形の計算（ASA）― 1辺と2角から全要素を求める三角形の計算（SAS）― 2辺と夾角から全要素を求める三角形の計算（SSS）― 3辺から全要素を求める三角形の面積計算正三角形の計算正多角形の計算扇形の面積計算双曲線の計算楕円の焦点ツール楕円の面積・周の長さの計算台形の面積計算中点計算ツール直角三角形の計算直角二等辺三角形（45-45-90）の計算直線の傾き計算ツール点と直線の距離二等辺三角形の計算平行四辺形の面積計算放物線の焦点・準線ツール立体幾何 トーラス体積の計算円錐の体積・表面積の計算円錐台（切頭円錐）の計算円柱の体積・表面積の計算球の体積・表面積の計算空間の2点間の距離の計算四角錐の体積・表面積の計算四角錐台の体積楕円体の体積・表面積の計算直方体の体積・表面積の計算半球の体積・表面積の計算立方体の計算 — 体積・表面積・対角線統計 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最終更新: 2026-05-19 ベクトルの大きさとは ベクトルの大きさとは、原点からベクトルの先端までの直線距離のことです。n次元ベクトル v = (v₁, v₂, …, vₙ) のユークリッドノルムは次の式で定義されます。 ∣v∣=v12+v22+⋯+vn2=∑i=1nvi2|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} この計算機では、コンマ区切りの成分（例：2次元なら 3, 4、3次元なら 1, 2, 3）を入力すると、大きさ・次元数・同じ向きを持つ単位ベクトルをまとめて求めることができます。 公式の由来 この公式は三平方の定理（ピタゴラスの定理）をn次元に拡張したものです。2次元では、ベクトル (a, b) は直角三角形の斜辺を成すため ∣v∣=a2+b2|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} となります。3次元では、ベクトル (a, b, c) は直方体の体対角線に対応し ∣v∣=a2+b2+c2|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} です。次元数がいくつであっても考え方は同じで、全成分の2乗を合計して平方根を取るだけです。 計算例 問題： ベクトル v = (3, 4, 12) の大きさと単位ベクトルを求めなさい。 ステップ1 — 各成分を2乗して合計する： 32+42+122=9+16+144=1693^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169 ステップ2 — 平方根を取る： ∣v∣=169=13|\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13 ステップ3 — 各成分を大きさで割って単位ベクトルを求める： v^=(313, 413, 1213)≈(0.230769, 0.307692, 0.923077)\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{3}{13},\ \frac{4}{13},\ \frac{12}{13}\right) \approx (0.230769,\ 0.307692,\ 0.923077) 解釈： ベクトル (3, 4, 12) の長さは13です。単位ベクトルはその向きを表しており、「1単位進む間に横方向に3/13、上方向に4/13、奥行き方向に12/13だけ移動する向き」を示しています。 単位ベクトルとは 単位ベクトルとは大きさがちょうど1のベクトルです。元のベクトルの向きを保ったまま、大きさの情報を取り除いたものと考えられます。各成分を |v| で割ることで求められます。 v^=v∣v∣=(v1∣v∣, v2∣v∣, …, vn∣v∣)\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\ \frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\ \ldots,\ \frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right) 単位ベクトルは「向きだけ」を表現したいときに使います。 物理： 力・速度の向き、面の法線方向 3Dグラフィックス： ライティング計算、カメラ姿勢 機械学習： コサイン類似度、特徴量の正規化 測量・ナビゲーション： 変位ベクトルから方位を求める なお、零ベクトル（全成分が0）は大きさが0であるため単位ベクトルは定義できません。 その他のノルム L²ノルム（ユークリッドノルム）が最も一般的ですが、用途に応じて以下のノルムも使われます。 ノルム計算式別名主な用途L¹Σ |vᵢ|マンハッタン距離・タクシー距離スパース推定（LASSO）、格子上の距離L²∑vi2\sqrt{\sum v_i^2}ユークリッドノルム幾何学、物理、コサイン類似度L∞max |vᵢ|チェビシェフ距離チェスの移動数、制御工学 この計算機はL²ノルム（ユークリッドノルム）を計算します。科学・工学における「ベクトルの長さ」は通常このノルムを指します。 主な活用場面 物理： 速度ベクトルの各成分から速さ（大きさ）を求める 3Dグラフィックス： ライティング計算の前に面法線ベクトルを正規化する データサイエンス： コサイン類似度検索の前に特徴ベクトルをL²正規化する ロボット工学： 関節変位ベクトルから手先の到達距離を求める 測量・GPS： (東方向, 北方向, 上方向) の変位から直線距離を計算する 成分の入力について 成分はコンマで区切って入力します：3, 4 や 1, 2, 3、0.5, -1.2, 0.8, 2.0 のように記述してください。 負の成分も問題ありません — 2乗するので符号は結果に影響しません。 小数の成分も使えます：1.5, 2.5 を入力すると |v| ≈ 2.915476 となります。 成分が1つだけ（例：5）の場合、大きさは5、単位ベクトルは (1) になります — これも公式の自然な帰結です。 よくある質問 (FAQ)ベクトルの大きさとは何ですか？ベクトルの大きさ（長さ・ノルムとも呼びます）は、原点からベクトルの先端までの直線距離です。n次元ベクトル v = (v₁, v₂, …, vₙ) の大きさは |v| = √(v₁² + v₂² + ⋯ + vₙ²) で求められます。これはユークリッドノルム（L²ノルム）と呼ばれ、三平方の定理を任意の次元数に拡張したものです。たとえば v = (3, 4) なら |v| = √(9 + 16) = 5 となります。 単位ベクトルはどうやって求めますか？単位ベクトルとは、大きさがちょうど1で、元のベクトルと同じ向きを持つベクトルです。各成分をベクトルの大きさで割ることで求められます：v̂ = v / |v| = (v₁/|v|, v₂/|v|, …, vₙ/|v|)。単位ベクトルは「向きだけ」を表現したいときに使います。具体的には、物理の力の向き・3Dグラフィックスの法線ベクトル・機械学習のコサイン類似度計算などで活用されています。 3次元以上でも同じ公式が使えますか？|v| = √(Σ vᵢ²) という公式は次元数に関わらず成り立ちます。3次元ベクトル (a, b, c) なら √(a² + b² + c²) — これは直方体の体対角線の長さに対応します。4次元以上は図形的に直感しにくいですが、計算の手順はまったく同じです。成分の2乗をすべて足し合わせて平方根を取るだけです。この計算機はコンマ区切りで何次元でも入力できます。 L¹ノルムやL∞ノルムとは何ですか？ユークリッドノルム（L²）以外にも、よく使われるノルムがあります。L¹ノルム（マンハッタン距離）は各成分の絶対値の和：‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + ⋯。スパース推定（LASSO回帰）や格子状の経路距離に使われます。L∞ノルム（チェビシェフ距離）は成分の絶対値の最大値：‖v‖∞ = max(|v₁|, …, |vₙ|)。チェス盤上の移動距離や制御工学で登場します。一般に「ベクトルの長さ」といえばL²ノルム（ユークリッドノルム）を指します。
