最終更新: 2026-07-01

指数関数的な増加と減衰

ある量の変化の速さがそのときの大きさに比例するとき、その量は指数関数的に増加または減衰します。大きいほど速く変化するということです。このパターンは、個体数、複利の残高、放射性物質、薬物濃度、感染症の初期の広がりなどを表します。これらすべての背後にある共通のモデルが次の式です。

N = N₀ (1 ± r)^t

ここで N₀ は初期値、r は 1 期あたりの割合、t は経過時間、N は経過後の量です。プラス符号は増加、マイナス符号は減衰を表します。

増加と減衰

増加と減衰の違いは割合の符号だけです。増加では乗数 (1 + r) が 1 より大きく、各期で量が拡大され、曲線はますます急に上昇します。減衰では乗数 (1 − r) が 0 と 1 の間にあり、各期で量が縮小され、曲線はゼロへ向かって（決して到達はせずに）下降します。

離散と連続

割合の適用方法には主に 2 通りあります。

離散モデル N₀ (1 ± r)^t は、1 期ごとに割合を 1 回適用します。年 1 回の利息、世代ごとの個体数、月ごとに更新される残高など、段階的に変化する状況に適します。

連続モデル N₀ · e^(kt) は、毎瞬間に割合を適用します。ここで k は連続の割合、e ≈ 2.71828 です。放射性崩壊、連続複利、一次の化学反応など、常に滑らかに変化する過程に適します。同じ名目割合では、得られた分がすぐに複利で働くため、連続モデルの方がわずかに速く増えます。

倍加時間と半減期

割合が一定のため、増加する量は現在の大きさにかかわらず 2 倍になるまで同じ時間がかかり、減衰する量は半分になるまで同じ時間がかかります。これらの定数が倍加時間と半減期です。

離散モデルでは次のとおりです。

• 倍加時間 = ln 2 ÷ ln(1 + r)
• 半減期 = −ln 2 ÷ ln(1 − r)

連続モデルではどちらも ln 2 ÷ k に等しくなります。割合の大きさはどちらの向きでも同じだからです。

便利な目安が「70 の法則」です。70 をパーセント割合で割ると倍加時間を概算できます。年 5% なら倍加時間はおよそ 70 ÷ 5 = 14 年で、正確な 14.21 年に近い値です。

計算例

問題: 人口 1,000 人の町が年 5% で増加します。10 年後の人口はいくらで、人口が 2 倍になるまでに何年かかりますか。

離散の増加モデルを用います。

N = 1000 × (1 + 0.05)^10 = 1000 × 1.62889 ≈ 1,629 人

倍加時間 = ln 2 ÷ ln(1.05) ≈ 0.6931 ÷ 0.04879 ≈ 14.21 年

したがって 10 年後の人口は約 1,629 人で、この割合では 14 年余りで 2,000 人に達します。

減衰の例

問題: 200 mg の薬が 1 時間あたり 0.231 の割合で連続的に減衰します。6 時間後に残る量と半減期はいくつですか。

N = 200 × e^(−0.231 × 6) = 200 × e^(−1.386) ≈ 50 mg

半減期 = ln 2 ÷ 0.231 ≈ 3 時間

6 時間後の 50 mg は初期量のちょうど 4 分の 1 です。6 時間は半減期 2 回分にあたるため、量が 2 回半分になったと考えれば筋が通ります。

複利との関係

指数関数的増加は複利の計算の数学的な土台です。r を期あたりの利率とした離散モデルは複利の式と同じであり、連続モデルは連続複利に対応します。本ツールは表現を一般的にしているので、生物学・物理学・金融のいずれにも同じように使えます。