最終更新: 2026-06-23

母平均の推定とサンプルサイズ

調査や実験で平均値（平均待ち時間、平均血圧、世帯あたりの平均支出など）を推定するとき、標本数は推定の精度を左右します。被験者が少なすぎると信頼区間が広くなりすぎ、結果からほとんど何も言えなくなります。逆に多すぎれば、時間と費用を無駄に使うことになります。あらかじめ標本数を設計しておけば、最初の1件を観測する前に、求める精度を固定できます。

母平均を推定するために必要な標本数は、信頼区間の幅から直接導かれます。

各記号の意味は次のとおりです。

• $n$ — 必要となる最小の観測数。
• $z$ — 信頼水準に対応する標準正規分布の臨界値。90% で 1.645、95% で 1.96、99% で 2.576。
• $\sigma$ — 母標準偏差。値がどれだけばらついているかの尺度。
• $E$ — 誤差範囲。推定した平均の周りに許容する ± の精度で、$\sigma$ と同じ単位で表す。

精度は誤差範囲の 2 乗 で効きます。誤差範囲を半分にすると標本数は4倍になります。同様に、ばらつき $\sigma$ が2倍になれば標本数は4倍になり、信頼水準を 95% から 99% に上げると臨界値が 1.96 から 2.576 へ上がるため、必要数はおよそ 1.7 倍になります。

σ の値を求める

公式には標準偏差が必要ですが、$\sigma$ が調査前にわかっていることはほとんどありません。次の3つの見積もり方で、多くの場合をまかなえます。

• 予備調査。 少数の観測を集め、その標本標準偏差を $\sigma$ の代わりに用いる。
• 過去のデータ。 類似する母集団について、先行研究や公表統計で報告された標準偏差を流用する。
• 範囲の目安。 取りうる最小値と最大値しかわからない場合、$\sigma \approx (\text{最大値} - \text{最小値}) / 4$ で近似する。おおむね正規分布に従う範囲は、約4標準偏差にわたるためである。

やや保守的（大きめ）に見積もるのが安全です。標本数が不足するよりも、多めの標本数に倒れるためです。

計算例

95% の信頼水準で平均を ±2 単位の精度で推定したいとします。過去のデータから標準偏差はおよそ 15 と見込まれます。臨界値 1.96、$\sigma = 15$、誤差範囲 2 を代入すると次のようになります。

公式が返す正確な値は 216.09 ですが、被験者を端数で調査することはできず、切り捨てると誤差範囲が要求より少し広くなってしまいます。そのため結果は常に切り上げます。ここでは 217 件となります。

z だけでは足りない場合

上の公式は正規分布の値 $z$ を用います。これは標本数設計の標準的な慣行です。ただし、留意すべき点が2つあります。

小標本かつ σ が未知の場合。 臨界値 $z$ は大標本を前提とします。最終的なデータが小さく（おおむね三十未満）、標準偏差 $\sigma$ をデータから推定する場合、分析そのものには $z$ ではなく、より幅の広い $t$ 分布を用いるべきです。ただし設計の段階ではまだ標本数 $n$ がわからないため、$z$ が通常の出発点になります。標本数が大きくなれば $z$ と $t$ の差は無視できる程度になります。

有限母集団の場合。 標準的な公式は、事実上無限の母集団から標本を抽出することを前提とします。標本が大きさ $N$ の有限母集団のかなりの割合を占める場合は、有限母集団修正を適用すると、必要な標本数を下げられます。

平均ではなく割合を推定する場合、設計の公式は形が変わります。必要サンプルサイズ（母比率） を参照してください。逆に、すでに手元にある標本から導かれる誤差範囲を求めたい場合は、誤差の範囲 を使います。