最終更新: 2026-06-23

カイ二乗適合度検定

カイ二乗適合度検定は、観測されたカテゴリ度数が、ある仮説の予測する度数とどの程度一致するかを評価する手法です。1つのカテゴリ標本を理論上の分布と比較するための標準的な道具であり、サイコロが公正かどうか、遺伝の交配が 9:3:3:1 の比に従うかどうか、袋に入った菓子の色が表示どおりの割合で現れるかどうかといった検証に用いられます。各カテゴリで実際に観測した度数と、帰無仮説のもとで期待される度数を入力すると、統計量・その自由度・p値が返されます。

統計量

この検定は、観測と期待のずれをピアソンの統計量

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

で要約します。ここで $O_i$ はカテゴリ $i$ の観測度数、$E_i$ は期待度数、$k$ はカテゴリ数です。各項は、ある一つのカテゴリが予測からどれだけ離れたかを表します。偏差を二乗するのは、超過と不足のどちらも打ち消し合わずに仮説への反証として数え、絶対的なずれが大きいほど重く効くようにするためです。$E_i$ で割ることで、二乗した各偏差を基準化します。十度数のずれは、五しか期待されていなければ深刻ですが、五千期待されていれば些細であり、期待度数で割ることで各カテゴリを比較可能な尺度にそろえます。全カテゴリで和をとると、データが仮説から離れるほど大きくなる一つの数値が得られます。観測度数が期待度数に厳密に等しいとき、各項はゼロとなり $\chi^2 = 0$ になります。

自由度とp値

統計量は、自由度によって形が定まるカイ二乗分布と比較されます。単純な適合度検定では、

$\text{df} = k - 1$

となります。度数の合計が既知の値になる必要があるため、自由度が1つ費やされます。最初の k − 1 個の度数が定まれば最後の1つは決まり、自由に動けるのは k − 1 個だけだからです（期待分布そのものを追加のパラメータでデータから推定する場合は、推定したパラメータ1つにつき自由度をさらに1つ差し引きます）。

p値は上側確率、すなわち帰無仮説が正しいと仮定したときに、観測された統計量と同じかそれ以上の値が得られる確率です。適合度検定は本質的に片側・上側の検定です。$\chi^2$ の大きな値だけが適合の悪さを示し、小さな値はデータが予測に近いことを意味します。p値を有意水準 $\alpha$（通常は五パーセント）と比較します。$p < \alpha$ のとき、ずれは標本変動だけでは無理なく説明できないほど大きく、データが期待された分布に従うという仮説を棄却します。$p \ge \alpha$ のとき、データは仮説と整合的ですが、これは仮説が真であると証明したことと同じではありません。

計算例

ある店舗が、3つのレジに 40:40:20 の割合で100人の客がさばかれると見込んでいたところ、ある午後に 50、30、20 人を記録したとします。期待度数は 40、40、20 です。このとき

カテゴリが3つあるので、この検定の自由度は2です。自由度2における $\chi^2 = 5$ の上側p値は約 $0.082 \approx p$ です。$p \gt 0.05$ なので、観測された割合は5%水準で期待された 40:40:20 の分布と整合的です。最初の2つのレジの見かけ上の偏りは、通常の標本変動の範囲内に収まっています。

前提

カイ二乗近似はいくつかの条件のもとで成り立ちます。期待度数はある程度大きい必要があり、すべての期待度数が5以上であることを目安とするのが一般的です。複数が小さい場合は、度数の少ないカテゴリをまとめるか、正確検定を用います。観測は互いに独立で、各標本はちょうど1つのカテゴリに属していなければなりません。また、この検定は百分率や割合ではなく生の度数を対象とします。仮説が割合で述べられている場合は、検定の前に各割合へ総標本数を掛けて期待度数を求め、期待度数の合計が観測度数の合計と一致することを確認します。

2群の平均を比較する場合はカテゴリ度数ではなく 2標本t検定 を、z統計量を裾確率に変換する場合は Z値からのp値の計算 を参照してください。