最終更新: 2026-05-19

2点間の距離とは

座標平面上の2点 P₁ = (x₁, y₁)、P₂ = (x₂, y₂) の間の直線距離は、距離の公式で求めます。

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

この公式は高校数学・大学入試から、物理・コンピュータグラフィックス・データ分析まで幅広く使われる基本公式です。計算機に2点の座標を入力すると、直線距離 d のほか、水平変位 Δx と垂直変位 Δy も自動で表示されます。

距離の公式の導き方

距離の公式はピタゴラスの定理から直接導けます。P₁ と P₂ を結ぶ直角三角形を次のように考えます。

• 横の辺：P₁ から P₂ の真下（または真上）の点まで。長さは |x₂ − x₁| = |Δx|
• 縦の辺：そこから P₂ まで。長さは |y₂ − y₁| = |Δy|
• 斜辺：P₁P₂ を結ぶ線分 — これが求める距離 d

ピタゴラスの定理 d² = Δx² + Δy² より $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ が得られます。二乗することで Δx・Δy の符号が消えるため、絶対値を気にする必要はありません。

計算例

問題： A = (−1, 3) と B = (5, −1) の間の距離を求めよ。

ステップ1 — Δx・Δy を計算する：

$\Delta x = 5 - (-1) = 6 \qquad \Delta y = -1 - 3 = -4$

ステップ2 — 距離の公式に代入する：

$d = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.211$

2点間の距離は約 7.21 です。Δx = 6、Δy = −4 なので、B は A より右に6、下に4の位置にあることも読み取れます。

Δx と Δy の意味

この計算機が表示する Δx・Δy は、距離だけでなく方向も示す符号付きの値です。

• Δx = x₂ − x₁ が正 → P₂ は P₁ より右にある
• Δx が負 → P₂ は P₁ より左にある
• Δy = y₂ − y₁ が正 → P₂ は P₁ より上にある
• Δy が負 → P₂ は P₁ より下にある

距離 d は常に 0 以上ですが、Δx・Δy は正負どちらにもなります。

点の順序は関係ない

P₁ と P₂ を入れ替えても距離は変わりません。Δx・Δy の符号は逆転しますが、二乗すれば正になるため d の値は同じです。A→B の距離と B→A の距離は必ず等しくなります。

3次元への拡張

3次元空間の2点 P₁ = (x₁, y₁, z₁)、P₂ = (x₂, y₂, z₂) では：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

考え方は同じで、直角三角形の代わりに直方体を作り、その空間対角線の長さを求めます。n 次元の場合は根号の中に各座標の差の二乗を加えていきます。

ユークリッド距離とタクシー距離

「距離」にはいくつかの定義があります。

距離の種類	計算式	用途
ユークリッド距離	$\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$	直線距離（直線を引ける場合）
タクシー距離	|Δx|+|Δy|	碁盤目状の道路を移動する場合
チェビシェフ距離	max(|Δx|, |Δy|)	チェスのキングの移動

都市の道路のように縦横にしか移動できない場合は、タクシー距離（マンハッタン距離）が実用的な最短経路の長さになります。ユークリッド距離はタクシー距離以下で、両者が等しくなるのは Δx か Δy のどちらかが0のとき（移動が縦か横のみ）に限られます。

主な応用場面

座標幾何・高校数学 線分の長さ、円の半径（中心と周上の点が与えられた場合）、直角三角形の判定（辺の長さが3:4:5の比か確認）などに使います。

地図・ナビゲーション 局所的なスケールでは、2地点の座標差からユークリッド距離が「直線距離」の近似になります。地球規模では球面の曲率を考慮したハバーサイン公式を使いますが、基本的な発想は同じです。

コンピュータグラフィックス・ゲーム開発 当たり判定や画面上のオブジェクト選択（クリック判定）では、毎フレーム大量の距離計算が行われます。比較だけが目的の場合は平方根を省いた d² = Δx² + Δy² を使うと高速化できます。

機械学習 k近傍法（k-NN）では、分類したいデータ点から各訓練データへのユークリッド距離を計算し、最も近い k 個の多数決でクラスを決めます。k-means クラスタリングでも同様にユークリッド距離が標準的な指標として使われます。

よくある質問 (FAQ)

2点間の距離の求め方は？

2点 P₁(x₁, y₁) と P₂(x₂, y₂) の直線距離は、距離の公式 d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²) で求められます。これは、2点を結ぶ直角三角形の斜辺の長さを、ピタゴラスの定理を使って計算したものです。横方向の差を Δx、縦方向の差を Δy とすると、d = √(Δx²+Δy²) と表せます。

距離の公式とピタゴラスの定理はどう関係している？

P₁ と P₂ を両端とする直角三角形を描くと、横の辺の長さが |Δx|、縦の辺の長さが |Δy| になります。ピタゴラスの定理 d² = Δx² + Δy² より d = √(Δx²+Δy²) が得られます。つまり距離の公式は、座標を使ってピタゴラスの定理を表現したものです。

P₁とP₂を入れ替えても距離は変わりませんか？

変わりません。P₁とP₂を入れ替えると Δx と Δy の符号は逆になりますが、2乗すると正になるため d = √(Δx²+Δy²) の値は同じです。距離は対称な量なので、A から B までの距離と B から A までの距離は必ず等しくなります。なお Δx・Δy 自体は符号付きで、方向によって正負が変わります。

3次元空間での2点間の距離はどう求める？

3次元では P₁(x₁, y₁, z₁) と P₂(x₂, y₂, z₂) の距離は d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²) になります。直角三角形の代わりに直方体を考えて、その空間対角線の長さを求める発想です。この計算機は2次元専用ですが、3次元の場合は根号の中に z の差の2乗を加えるだけです。