作成日: 2026年6月13日 18:01

ポアソン分布の計算

入力

レート3
事象数2

グラフ

確率質量 0

OneCalc で作成 · https://onecalc.app/ja/math/poisson-distribution

数学

ポアソン分布の計算

レート母数 λ と事象数 k を入力して P(X=k)・P(X≤k)・P(X≥k) を求めます。平均・分散の導出過程も表示します。

入力

パラメータ

結果

値を入力すると計算結果が表示されます。

詳細

確率の導出

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \\ &= \dfrac{e^{-3} \cdot 3^{ 2 }}{ 2!} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}

確率分布

確率質量 0

この計算機を埋め込む

プレビュー

このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。

この計算を共有

このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。

ポアソン分布は、固定された時間・空間・面積などの区間において、独立な事象が一定の平均レートで起きるときの発生回数を記述する離散確率分布です。統計学・確率論の基礎として広く用いられており、通信工学、信頼性工学、疫学、金融工学など多くの分野で応用されています。

確率質量関数（PMF）

レート母数 λ > 0 と非負整数 k が与えられたとき、確率質量関数は次のように定義されます。

P(X=k)=e−λ λkk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

ここで、e は自然対数の底（ネイピア数 ≈ 2.71828）、k! は k の階乗です。

累積分布関数（CDF）は PMF の和として表されます。

P(X≤k)=∑i=0ke−λ λii!P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^i}{i!}

「k 回以上」の確率は補余 CDF を使います。

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

平均と分散

ポアソン分布の重要な性質として、平均（期待値）と分散がともに λ に等しくなります。

μ=λ,σ2=λ\mu = \lambda, \qquad \sigma^2 = \lambda

したがって標準偏差は √λ であり、変動係数（σ/μ）は λ が大きくなるにつれて 1/√λ と小さくなります。

計算例

コールセンターに1時間あたり平均4件の問い合わせが届くとします（λ = 4）。次の1時間にちょうど2件の問い合わせが来る確率を求めます。

P(X=2)=e−4⋅422!=e−4⋅162≈0.1465P(X = 2) = \frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} = \frac{e^{-4} \cdot 16}{2} \approx 0.1465

約 14.7% の確率でちょうど2件の問い合わせが来ます。また、2件以下になる確率は次のとおりです。

P(X≤2)=e−4(1+4+8)=13e−4≈0.2381P(X \leq 2) = e^{-4}(1 + 4 + 8) = 13e^{-4} \approx 0.2381

2件以上になる確率（補余 CDF）は次のとおりです。

P(X≥2)=1−P(X≤1)=1−e−4(1+4)=1−5e−4≈0.9084P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - e^{-4}(1 + 4) = 1 - 5e^{-4} \approx 0.9084

分布の導出

ポアソン分布は、二項分布 Binomial(n, p) において n → ∞、p → 0 のとき積 np = λ を一定に保つ極限として導出されます。

(nk)pk(1−p)n−k  →n→∞,  np=λ  λkk!e−λ\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow{n\to\infty,\;np=\lambda}\; \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

導出の主なステップは次の通りです。

  • 二項係数 n!/(k!(n−k)!) が n^k/k! に収束する
  • p^k = (λ/n)^k が λ^k/n^k に寄与し、n^k と相殺される
  • (1 − λ/n)^n が e^−λ に収束する

平均と分散が等しい理由

二項分布では平均 = np = λ、分散 = np(1−p) です。p → 0 のとき (1−p) → 1 となるため、分散も np = λ に収束します。この「平均 = 分散 = λ」という等式がポアソン分布の特徴的な性質です。実データで分散が平均より著しく大きい場合（過分散）は、負の二項分布の使用を検討してください。

数値計算上の注意

k が大きくなると λ^k や k! が個別にオーバーフローします。対数 PMF を使うと精度を維持できます。

log⁡P(X=k)=−λ+klog⁡λ−log⁡(k!)\log P(X = k) = -\lambda + k \log \lambda - \log(k!)

log k! は log 2 + log 3 + … + log k と逐次的に積算し、最後に指数変換します。この方法で k が数百程度まで正確に計算できます。

他の分布との関係

  • 二項分布との関係: n ≥ 20 かつ p ≤ 0.05（または n ≥ 100 かつ np ≤ 10）のとき、二項分布のポアソン近似は有効です。
  • 指数分布との関係: ポアソン過程における事象の待ち時間（事象間隔）は指数分布 Exponential(λ) に従います。平均待ち時間は 1/λ です。
  • 正規分布との近似: λ が十分大きいとき（目安として λ ≥ 30）、(X − λ)/√λ は標準正規分布に近似されます。
  • 幾何分布との関係: 幾何分布はベルヌーイ試行での初回成功時の試行数を扱い、指数分布と同様に「無記憶性」を持つ点でポアソン過程と理論的に接続されます。

主な応用例

  • 通信・ネットワーク: ルータへのパケット到着率の解析、待ち行列理論（M/M/1 モデルはポアソン到着を仮定）
  • 信頼性工学: 一定の故障率に基づいてある期間に起きる部品故障件数の推定
  • 疫学: 特定地域・特定週における感染症新規発生数のモデル化（一定の発症率を仮定）
  • 天文学・素粒子物理学: 光子センサーの検出数、放射性崩壊の計数
  • 保険・リスク管理: 保険請求件数分布の推定、レアイベントの頻度評価

よくある質問 (FAQ)

ポアソン分布はどのような場合に使いますか？

固定区間（時間・距離・面積など）で発生する独立な事象の個数を扱うときに用います。適用条件は、①事象が互いに独立であること、②平均レート λ が一定であること、③同時刻に複数の事象が起きないこと、の三つです。代表例として、コールセンターへの1時間あたり着信数、放射性崩壊の1秒あたり検出数、文書1ページあたりの誤植数などがあります。

λ（ラムダ）は何を表しますか？

λ は選択した区間で期待される事象の平均回数です。例えばサーバーが1分あたり平均5件のリクエストを受け取るなら λ = 5 です。区間の長さを変える場合は λ を比例調整します。1分の半分なら λ = 2.5、2分間なら λ = 10 となります。

ポアソン分布と二項分布の関係は？

試行回数 n → ∞、成功確率 p → 0 のとき、積 np = λ を一定に保てば二項分布はポアソン分布に収束します。実用上は n ≥ 20 かつ p ≤ 0.05（または n ≥ 100 かつ np ≤ 10）の条件でポアソン近似が有効です。計算が重い二項係数の代わりに e^−λ λ^k / k! という単純な式を使えます。

平均と分散がどちらも λ になるのはなぜですか？

ポアソン分布の本質的な性質で、二項分布の極限として導かれます。二項分布では平均 = np = λ、分散 = np(1−p) であり、p → 0 のとき (1−p) → 1 となるため分散も λ に収束します。この等式から標準偏差 = √λ、変動係数 = 1/√λ が得られます。実データで分散が平均を大きく上回る場合（過分散）は、負の二項分布の適用を検討してください。

次のおすすめ

二項確率の計算

試行回数・成功回数・成功確率を入力すると、P(X=k)・P(X≤k)・P(X≥k) を計算します。コインの表裏や合否判定など、二値の試行に広く使えます。

 詳しく解説
幾何分布の計算

成功確率 p と試行番号 k を入力すると、初めて成功する確率 P(X=k) と累積確率 P(X≤k)、および期待値・分散を計算します。

 詳しく解説
正規分布計算ツール

ZスコアとP(X < x)・P(X > x)・パーセンタイルを計算。平均・標準偏差を入力すればZスコア表不要。正規分布の確率を算出します。

 詳しく解説

200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料

この計算機は役に立ちましたか？

改善が必要

どのような点が改善されると良いですか？
Powered by OneCalc ↗