最終更新: 2026-06-23

必要サンプルサイズ（母比率）

調査や世論調査を実施する前に、まず答えておくべき問いがあります。何人から回答を得れば十分なのか、という問いです。回答数が少なすぎれば、結果に付く誤差が大きくなり、意味のある差を見分けられなくなります。逆に多すぎれば、誰も必要としない精度のために時間と費用を費やすことになります。推定したい量が比率である場合、すなわち賛成する割合・購入する割合・「はい」と答える割合のような量を見積もる場合、必要なサンプルサイズは三つの選択から直接導かれます。どの程度の確信を求めるか、どの程度の精度を求めるか、そして比率そのもののおおよその見込み値です。

計算式

母比率を推定するとき、目標とする許容誤差を達成するために必要な標本サイズは次の式で与えられます。

$n = \dfrac{z^2 \cdot p(1 - p)}{E^2}$

各項はそれぞれ異なる役割を担います。

• $z_{\alpha/2}$ は、選んだ信頼水準に対応する標準正規分布の臨界値です。90%信頼で1.645、95%で1.96、99%で2.576となります。信頼水準を高くするほど臨界値は大きくなり、必要な標本も大きくなります。
• $p\,$ は推定対象の想定（仮定）母比率で、ゼロから一までの間の小数で表します。$p\,(1 - p)$ の項は、二択の回答一件あたりの分散にあたります。
• $E$ は許容誤差で、信頼区間の半幅、つまり推定値の周りに許す $\pm$ の精度です。分母で二乗されるため、許容誤差を半分にすると標本はおよそ4倍になります。

50%が安全な既定値である理由

$p\,(1 - p)$ の項こそが比率を効いてくる要素であり、都合のよい性質を持っています。この値は比率が0のときと1のときに0となり、比率がちょうど0.5のときに最大値0.25をとります。言い換えれば、比率が0.5付近のときがもっとも推定しにくく、回答のばらつきが最大になります。逆に両極端に近い比率は推定しやすくなります。

パイロット調査や過去の研究から信頼できる比率の見積もりがすでにある場合は、それを使います。0.5から離れた値であれば、より小さく安価な標本で済みます。一方、信頼できる事前情報がない場合は、母比率を0.5と仮定するのが保守的な選択です。$p\,(1 - p)$ を最大化し、必要な標本を最大にするため、真の母比率がどのような値であっても許容誤差が満たされることが保証されます。

計算例

95%信頼で許容誤差を5ポイントとし、事前の見積もりがないため母比率を0.5と仮定して、母比率を推定する場合を考えます。臨界値は1.96です。

切り上げると385人となります。数多くの「±3%」「±5%」の世論調査の背後にある、おなじみの数字です。代わりに99%信頼を求めると臨界値が2.576に上がり、必要数は664人まで増えます。パイロット調査で真の母比率が30%に近いと示唆された場合、$p\,(1 - p)$ は0.25ではなく0.21となり、95%信頼での必要数は323人まで下がります。

有限母集団修正

上の公式は母集団が実質的に無限であることを前提としており、これは標本が大きな集団のごく一部である場合には良い近似となります。標本が小さく既知の母集団 $N$ の大きな割合を占める場合、目安としてそのおよそ5%を超える場合には、有限母集団修正を適用します。

$n_{\text{adj}} = \dfrac{n}{1 + \dfrac{n - 1}{N}}$

この修正は常に必要数を下げ、場合によってはかなり大きく下がります。たとえば人口2,000人の町で385人を調査する場合、修正によって必要な標本はおよそ323人まで減ります。母集団が大きい場合は調整の影響はごくわずかで、無視して差し支えありません。

切り上げ

標本サイズは回答者の整数でなければならず、公式の結果がちょうど整数になることはほとんどありません。四捨五入ではなく常に切り上げます。切り捨てると達成される許容誤差が指定した値よりわずかに広くなる一方、切り上げれば求めた精度が保証されるためです。同じ考え方は、比率ではなく平均を推定するための調査規模を求める 必要サンプルサイズ（母平均） や、与えられた標本が達成する精度を逆向きに報告する 誤差の範囲 にも当てはまります。