最終更新: 2026-07-13

この計算ツールでできること

この計算ツールは、3つの未知数 x, y, z に関する3元1次連立方程式をガウスの消去法で解きます。

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

12個の係数と定数を拡大係数行列として書き、行基本変形でその行列を行階段形に簡約し、後退代入で解 (x, y, z) を求めます。係数行列が正則でない場合は、一意解を持たないと判定します。

拡大係数行列

係数と右辺を並べると拡大係数行列になります。縦線が係数の部分と定数の部分を分けます。

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]$$

ガウスの消去法の各手順は、この行列に対する行基本変形です。2つの行の入れ替え、行の定数倍、ある行の定数倍を別の行に加えること——いずれも解集合を変えません。

前進消去

前進消去の目的は、対角の下側に列ごとに 0 を作り、行列を上三角（行階段形）にすることです。

ステップ1 — x の列を消去する。 最初のピボット a₁ を使い、第1行の定数倍を第2・第3行から引きます。

$$m_{21} = \frac{a_2}{a_1}, \quad R_2 \to R_2 - m_{21} R_1, \qquad m_{31} = \frac{a_3}{a_1}, \quad R_3 \to R_3 - m_{31} R_1$$

ステップ2 — y の列を消去する。 新しい第2のピボット b₂′ を使い、第2行の定数倍を第3行から引きます。

$$m_{32} = \frac{b_3'}{b_2'}, \quad R_3 \to R_3 - m_{32} R_2$$

これで行列は上三角になります。

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & b_2' & c_2' & d_2' \\ 0 & 0 & c_3'' & d_3'' \end{array}\right]$$

後退代入

最終行は z のみで表されるので直接解け、その値が上へ伝わっていきます。

$$z = \frac{d_3''}{c_3''}, \quad y = \frac{d_2' - c_2' z}{b_2'}, \quad x = \frac{d_1 - b_1 y - c_1 z}{a_1}$$

行列が三角形になっているため、その行列式は対角のピボットの積 $D = a_1 \cdot b_2' \cdot c_3''$ で与えられます。積が 0 でなければ一意解が確定します。

計算例

初期値の系を解きます。

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

ステップ1 — 乗数と最初の掃き出し。 ピボット a₁ = 2 のとき、

$$m_{21} = \frac{-3}{2} = -\tfrac{3}{2}, \qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1$$

第1行のこれらの倍数を引くと、

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

ステップ2 — y の列を消去する。 ピボット b₂′ = 1/2 のとき、

$$m_{32} = \frac{2}{1/2} = 4, \qquad R_3 \to R_3 - 4 R_2$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

ステップ3 — 後退代入：

$$z = \frac{1}{-1} = -1, \quad y = \frac{1 - \tfrac{1}{2}(-1)}{1/2} = 3, \quad x = \frac{8 - (1)(3) - (-1)(-1)}{2} = 2$$

行列式はピボットの積 $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot (-1) = -1 \ne 0$ となり、一意解 (x, y, z) = (2, 3, −1) が確定します。

検算：

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

消去が進まないとき

上の順調な掃き出しを妨げる状況が2つあります。

• ピボットが 0 だが正則な系。 対角の係数が 0 のとき——例えば第1式に x の項がない場合——乗数がゼロ除算になります。対処は部分ピボット選択です。その行を、その列に 0 でない成分を持つ下の行と入れ替えてから続けます。解は変わらず、行の順序だけが変わります。数値計算のソフトウェアでは、丸め誤差を抑えるために利用可能な最大のピボットを選んで入れ替えます。
• 修正できないピボットの 0。 消去の結果、係数の列にわたって 0 だけの行が現れると、行列式が 0 で係数行列は正則ではありません。このとき系は、解が無数に存在するか（定数が従属関係と整合する場合）、まったく存在しないか（矛盾する場合）のいずれかです。ただ1組の (x, y, z) は存在しません。

ガウスの消去法とクラメルの公式

正則な系では、どちらの方法でも同じ解が得られます。クラメルの公式は各未知数を行列式の比で表し、3×3 では見通しが良い一方、規模が大きくなると計算量が急増します。ガウスの消去法は行基本変形で系全体を変形するため大きな系にもよく対応でき、数値ライブラリの線形ソルバーの土台になっています。簡約行階段形（RREF）——各ピボットを 1 にし、その上の成分も 0 にする形——まで簡約すれば、後退代入なしで解を直接読み取れます。

応用

3元の連立方程式は、代数や微積分の準備段階、3つのループにキルヒホッフの法則を用いる回路解析、化学反応式のつり合わせ、そして3つの1次条件を同時に満たすべきあらゆる場面に現れます。ガウスの消去法はこうした系の標準的な手計算法であり、LU 分解や計算機による線形代数の出発点となる考え方でもあります。

よくある質問 (FAQ)

ガウスの消去法とは何ですか？

ガウスの消去法は、式どうしを組み合わせて連立方程式を体系的に解く方法です。系を拡大係数行列として書き、ある行の定数倍を他の行から引いて対角の下側を 0 にし、上三角（行階段形）へと変形します。すると最終行は1つの未知数だけになり、後退代入によって下から順に残りの未知数を求められます。

クラメルの公式との違いは何ですか？

両者とも同じ解に到達します。クラメルの公式は各未知数を行列式の比として表し、3×3 ではまとまりが良い一方、規模が大きくなると急に計算量が増えます。ガウスの消去法は行基本変形で系全体を変形するため、大きな系にもよく対応でき、数値線形代数のソフトウェアが用いる方法でもあります。本ツールは消去の手順を示し、行列式はピボットの積として表示します。

行階段形（REF）と簡約行階段形（RREF）の違いは？

行階段形（REF）は各主成分の下がすべて 0 の上三角の形で、後退代入で仕上げます。簡約行階段形（RREF）はさらに進め、各主成分を 1 にし、その上の成分もすべて 0 にするので、行列から解を直接読み取れます。本ツールは REF まで簡約してから後退代入する、古典的なガウスの消去法の手順をとります。

なぜ「一意解なし」と表示されるのですか？

このメッセージは行列式が 0 のときに表示されます。これは1つの式が他の式の1次結合になっていることを意味し、消去の途中で係数の列に 0 だけの行が現れます。定数の値によって、解は無数に存在するか、まったく存在しません。一意解が存在するのは、3つのピボットがすべて 0 でないときだけです。

なぜ消去の途中で行を入れ替えるのですか？

割る対象となるピボットが 0 だと、一意解を持つ系であっても自然な順序では消去が破綻します。その行を下の行と入れ替え（部分ピボット選択）、対角に 0 でない成分を置くと消去を続けられます。数値計算のソフトウェアでは、丸め誤差を抑えるために利用可能な最大のピボットを選ぶ目的でも行を入れ替えます。