最終更新: 2026-06-04

整除性とは、ある整数 n を非零整数 d で割ったときに余りが生じないこと、すなわち n ÷ d が整数になることをいいます。言い換えれば、n = d × k を満たす整数 k が存在するとき、n は d で割り切れるといいます。このツールは、入力した整数が 2 から 11 までの各整数で割り切れるかどうかを、数論の判定規則に基づいて一括判定します。

除数ごとの整除判定規則

2

末尾の桁が 0、2、4、6、8 のいずれかであれば、その数は 2 で割り切れます。これは 10 ≡ 0（mod 2）であるため、一の位より上の位はすべて 2 の倍数として余りに寄与しないことから導かれます。

3

各位の数字をすべて足した和（各位の和）が 3 で割り切れれば、元の数も 3 で割り切れます。たとえば 12345 の各位の和は 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 で、15 ÷ 3 = 5 なので 12345 は 3 で割り切れます。この規則が成り立つ理由は 10 ≡ 1（mod 3）であり、各位の数字がそれ自体の値のまま余りに寄与するためです。

4

末尾 2 桁が表す数が 4 で割り切れれば、元の数も 4 で割り切れます。12345 の末尾 2 桁は 45 で、45 ÷ 4 = 11.25 なので 12345 は 4 で割り切れません。この規則が成り立つ理由は 100 = 4 × 25 が 4 で割り切れるため、百の位以上の数字は余りに影響しないためです。

5

末尾の桁が 0 または 5 であれば、その数は 5 で割り切れます。2 の場合と同様、10 ≡ 0（mod 5）であるため、一の位だけが余りを決定します。

6

2 と 3 の両方で割り切れるとき、かつそのときに限り、その数は 6 で割り切れます。6 = 2 × 3 であり、gcd(2, 3) = 1 なので、二つの条件は独立しており、どちらも成立する必要があります。

7

7 には一段階で完結する桁の判定規則はありませんが、反復的な手法があります。末尾の桁を2倍にして残りの数から引き、その結果が 7 で割り切れるかを繰り返し確認します。たとえば 343 の場合、末尾の桁 3 を2倍にして 6、34 から 6 を引くと 28、28 ÷ 7 = 4 なので 343 は 7 で割り切れます。このツールは余りを直接計算するため、この反復操作は不要です。

8

末尾 3 桁が表す数が 8 で割り切れれば、元の数も 8 で割り切れます。1000 = 8 × 125 が 8 で割り切れるため、千の位以上の桁は余りに影響しません。12345 の末尾 3 桁は 345 で、345 ÷ 8 = 43.125 なので 12345 は 8 で割り切れません。

9

各位の和を求め、それが 9 で割り切れるかどうかを確認します。3 の規則と同じ原理で、10 ≡ 1（mod 9）であるためです。12345 の場合、各位の和は 15、15 ÷ 9 = 1.67 なので 12345 は 9 で割り切れません。

10

末尾の桁が 0 であれば、その数は 10 で割り切れます。これは 2 と 5 の規則を組み合わせたものです。

11

各位の数字を一の位から交互に足し引きした交互桁和が 0 または 11 の倍数であれば、元の数は 11 で割り切れます。12345 の場合、右から順に 5 − 4 + 3 − 2 + 1 = 3 となり、3 は 11 の倍数でないため 12345 は 11 で割り切れません。この規則が成り立つ理由は 10 ≡ −1（mod 11）であり、各位の数字が交互に +1 と −1 の係数で余りに寄与するためです。

計算例

55440 は 2 から 11 までの各整数で割り切れるか？

• 2： 末尾の桁が 0 → 割り切れる
• 3： 各位の和 5 + 5 + 4 + 4 + 0 = 18、18 ÷ 3 = 6 → 割り切れる
• 4： 末尾 2 桁 40、40 ÷ 4 = 10 → 割り切れる
• 5： 末尾の桁が 0 → 割り切れる
• 6： 2 と 3 の両方で割り切れる → 割り切れる
• 7： 55440 ÷ 7 = 7920（余り 0）→ 割り切れる
• 8： 末尾 3 桁 440、440 ÷ 8 = 55 → 割り切れる
• 9： 各位の和 18、18 ÷ 9 = 2 → 割り切れる
• 10： 末尾の桁が 0 → 割り切れる
• 11： 交互桁和 0 − 4 + 4 − 5 + 5 = 0 → 割り切れる

55440 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 であり、2 から 11 までの 10 個すべての整数で割り切れます。

特殊ケース：0

0 はすべての非零整数で割り切れます。定義上、0 = d × 0 がどの非零整数 d についても成り立ちます。このツールでは n = 0 を入力した場合、2 から 11 までのすべての除数について「割り切れる」と判定します。

精度の上限

このツールは 64 ビット浮動小数点演算を使用しており、整数は 2⁵³ ≈ 9 × 10¹⁵ まで正確に表現できます。絶対値が 10¹⁵ を超える整数では丸め誤差により誤った結果が生じる可能性があります。大きな数の整除性判定には、任意精度整数ライブラリの使用を検討してください。

よくある質問 (FAQ)

3と9の整除判定で各位の和が使えるのはなぜですか？

10 を 9（および 3）で割ると余りが 1 になります。10 ≡ 1、100 ≡ 1、1000 ≡ 1、…とすべて 9 を法として合同であるため、ある整数を 9 で割ったときの余りは、その各位の数字の和を 9 で割ったときの余りと等しくなります。たとえば 12345 の各位の和は 1+2+3+4+5 = 15 で、15 ÷ 9 の余りは 6 となり、12345 は 9 で割り切れません。3 についても同様に 10 ≡ 1（mod 3）が成り立つため、同じ規則が適用できます。

7の整除判定の方法はありますか？

実用的な手算による判定方法の一つは、末尾の桁を2倍にして残りの数から引き、その結果が 7 で割り切れるかどうかを繰り返し調べるというものです。たとえば 343 を調べる場合、末尾の桁 3 を2倍にすると 6、34 から 6 を引くと 28、28 ÷ 7 = 4 なので 343 は 7 で割り切れます。このような操作を、判定できる大きさになるまで繰り返します。このツールは余りを直接計算するため、大きな数でも手算による桁操作は不要です。

0 はすべての整数で割り切れますか？

整数の整除性の定義によれば、整数 a が非零整数 d で割り切れるとは、a = d × k を満たす整数 k が存在することをいいます。a = 0 の場合、k = 0 とすれば 0 = d × 0 がどの非零整数 d についても成り立ちます。したがって 0 はすべての非零整数で割り切れます。このツールでは n = 0 を入力すると、2〜11 のすべての除数について「割り切れる」と判定します。

11より大きい素数の整除判定規則はありますか？

あります。ただし、数が大きくなるほど手算での適用は煩雑になります。13 の場合は末尾の桁を4倍して残りの数に加える、17 の場合は末尾の桁を5倍して残りの数から引く、19 の場合は末尾の桁を2倍して残りの数に加える、という操作を繰り返します。これらは 10 のその素数に関する乗法逆元の性質を利用したもので、7 や 11 の判定規則と同じ原理に基づいています。実際には 13 より大きい素数については、直接除算またはツールを使った方が効率的です。