最終更新: 2026-05-13

ピタゴラスの定理とは

ピタゴラスの定理は、直角三角形において斜辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しいことを示す定理です。直角を挟む2辺の長さを a・b、斜辺の長さを c とすると、次の関係が常に成り立ちます。

$a^2 + b^2 = c^2$

この定理は数学のなかでも古くから知られています。紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板には、この方程式を満たす整数の組（ピタゴラス数）がすでに記されており、ピタゴラス本人が生まれるよりも何世紀も前のものです。ピタゴラスとその学派が示したのは一般的な証明であり、特定の整数例だけでなく、あらゆる直角三角形に成立することを明らかにした点に意義があります。

定理が成り立つしくみ

最も直感的な証明は、直角三角形の各辺に正方形を描く方法です。斜辺上の正方形の面積は、残り2辺の正方形の面積の合計と等しくなります。これは、ピースを並べ替えて大きな正方形をぴったり覆えることで確かめられます。この「分割証明」は代数を必要とせず、面積の数え方だけで済むため、歴史を通じてさまざまな文化で独立に発見されてきました。

代数的には、座標幾何学における距離の公式から導かれます。直角を原点に置き、短辺を各座標軸に沿わせると、$(a, 0)$ から $(0, b)$ までの距離は、ユークリッド距離の定義そのものから $\sqrt{a^2 + b^2}$ となります。

辺の求め方と計算機の使い方

直角三角形の任意の2辺を入力すると、残りの1辺が計算されます。3つのフィールドはいずれも入力に使用できます。斜辺と一方の短辺から残りの短辺を求めることも、両方の短辺から斜辺を求めることもできます。

• a と b から c（斜辺）を求める： $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• b と c から a を求める： $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• a と c から b を求める： $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

すべての長さの単位に対応しており、メートル法とヤード・ポンド法を組み合わせて入力できます。

ピタゴラス数

ピタゴラス数とは $a^2 + b^2 = c^2$ の整数解の組のことです。代表的なものを以下に示します。

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

いずれの組も正の整数倍はやはりピタゴラス数となります。たとえば (6, 8, 10)、(9, 12, 15)、(15, 20, 25) はいずれも (3, 4, 5) 族から派生したものです。

互いに素な「原始的」ピタゴラス数をすべて生成する公式には、$m > n > 0$ の整数を用います。

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

$m = 2, n = 1$ とすると $a = 3, b = 4, c = 5$ となり、代表的な (3, 4, 5) の組が得られます。

実生活での応用

建築と大工仕事。 「3-4-5の法則」は、分度器を使わずに直角を確認するための代表的な方法です。一方の壁に沿って3単位、隣の壁に沿って4単位を計り、その端点を結んだ長さがちょうど5単位なら直角です。

ナビゲーション。 地図上の2点間の直線距離は、南北方向と東西方向の差を短辺とする直角三角形の斜辺です。GPSや地図アプリはこの計算を常に行っています。

物理学と工学。 2次元のベクトルの大きさはピタゴラスの定理で求められます。水平速度 $v_x$ と垂直速度 $v_y$ を持つ物体の速さは $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ です。

コンピューターグラフィックス。 ピクセル間の距離、衝突判定、レンダリング計算はすべてこの定理に依存しています。3次元への拡張 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ は直接的な一般化です。

適用範囲と余弦定理

ピタゴラスの定理が成立するのは、1つの角がちょうど90°の直角三角形に限られます。それ以外の三角形には余弦定理を使います。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

ここで $C$ は辺 $c$ の対角です。$C = 90°$ のとき $\cos(90°) = 0$ となり、余弦定理はピタゴラスの定理そのものに帰着します——ピタゴラスの定理がより一般的な公式の特殊ケースであることを裏付けています。

よくある質問 (FAQ)

ピタゴラス数とは何ですか？

ピタゴラス数とは、a² + b² = c² を満たす3つの正の整数の組のことです。最も有名な例は (3, 4, 5) で、9 + 16 = 25 となります。ほかによく知られた組には (5, 12, 13)、(8, 15, 17)、(7, 24, 25) などがあります。また、ピタゴラス数の整数倍も同様にピタゴラス数になります（例：(6, 8, 10)）。

ピタゴラスの定理は実生活でどう使われますか？

建築（コーナーが直角かどうかの確認）、ナビゲーション（直線距離の計算）、物理学（ベクトルの大きさ）、コンピューターグラフィックス（2次元・3次元の距離計算）など、幅広い分野で活用されています。大工は「3-4-5の法則」を使って直角を確認します。

ピタゴラスの定理はすべての三角形に使えますか？

いいえ。ピタゴラスの定理は直角三角形（90°の角を持つ三角形）にのみ適用されます。直角三角形でない場合は余弦定理を使います：c² = a² + b² − 2ab cos(C)（Cは辺cの対角）。