最終更新: 2026-06-04

楕円体とは

楕円体とは、三次元空間に存在する滑らかな閉曲面で、どの断面をとっても楕円（または円）になる図形です。中心を原点にとると、表面上の任意の点 (x, y, z) は次の方程式を満たします。

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$

ここで a・b・c はそれぞれ x・y・z 方向の半軸（中心から表面までの長さ）です。a = b = c = r のとき上式は球の方程式 x² + y² + z² = r² に帰着します。

自然界や工学における楕円体の例として、地球（赤道半径 ≈ 6378 km、極半径 ≈ 6357 km の扁球）、細胞核、圧力容器、宇宙探査機の燃料タンクなどがあります。

体積の公式と導出

三軸楕円体の体積は次の式で厳密に求められます。

$$V = \frac{4}{3}\pi a b c$$

導出の概要。 高さ z における水平断面は、半軸が $a\sqrt{1 - z^2/c^2}$ および $b\sqrt{1 - z^2/c^2}$ の楕円で、その面積は $\pi ab(1 - z^2/c^2)$ です。これを $z = -c$ から $z = c$ まで積分すると、

$$V = \int_{-c}^{c} \pi ab\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right) dz = \pi ab \left[z - \frac{z^3}{3c^2}\right]_{-c}^{c} = \pi ab \cdot \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}\pi abc$$

この公式は球の体積公式 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ における r を3つの半軸 a・b・c に置き換えたものと見なすことができます。体積は3つの半軸の積に比例するため、いずれか1つの半軸を2倍にすると体積も2倍になります（球の場合に半径を2倍すると体積が8倍になるのとは対照的です）。

表面積に厳密な閉じた式が存在しない理由

球の表面積は 4πr² という簡潔な式で表せますが、一般の三軸楕円体では事情が異なります。曲率が表面上の各点で連続的に変化するため、表面積の積分は第1種および第2種の不完全楕円積分に帰着します。これらは初等関数（多項式・三角関数・指数関数など）の有限の組み合わせでは表せない超越関数です。

回転楕円体（2軸が等しい場合） は例外で、初等関数による厳密式が存在します。

種別	条件	表面積（厳密値）
扁球（oblate spheroid）	a = b > c	$2\pi a^2\!\left(1 + \dfrac{c^2}{a^2 e}\arcsin e\right)$，$e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$
長球（prolate spheroid）	a > b = c	$2\pi c^2\!\left(1 + \dfrac{a}{ce}\arcsin e\right)$，$e = \sqrt{1 - c^2/a^2}$

3軸すべてが異なる三軸楕円体（a ≠ b ≠ c）では実用的な近似式が必要になります。

クヌード・トムセン近似

三軸楕円体の表面積に対して最も精度の高い簡易式は、クヌード・トムセン近似（2004年）です。

$$A \approx 4\pi\!\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p}, \quad p = 1.6075$$

指数 p = 1.6075 は最悪誤差を最小化するよう経験的に選ばれた値で、任意の正の半軸の組み合わせに対して最大相対誤差は 1.061 % 未満です。球（a = b = c）では代入すると 4πa² となり、厳密値と完全に一致します。半軸比が極端でない通常の用途では誤差は 0.5 % を大きく下回ります。

特殊ケースのまとめ

形状	条件	体積	表面積
球	a = b = c = r	$\tfrac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi r^2$（厳密）
扁球	a = b > c	$\tfrac{4}{3}\pi a^2 c$	厳密式あり（上表参照）
長球	a > b = c	$\tfrac{4}{3}\pi a c^2$	厳密式あり（上表参照）
三軸楕円体	a ≠ b ≠ c	$\tfrac{4}{3}\pi abc$	クヌード・トムセン近似

計算例

問題。 半軸 a = 6 cm、b = 4 cm、c = 3 cm の楕円体の体積と表面積を求めます。

体積：

$$V = \frac{4}{3}\pi \times 6 \times 4 \times 3 = \frac{4}{3}\pi \times 72 = 96\pi \approx 301.6 \text{ cm}^3$$

表面積（クヌード・トムセン近似、p = 1.6075）：

各半軸の p 乗を計算します。

• $6^{1.6075} \approx 17.82$
• $4^{1.6075} \approx 9.29$
• $3^{1.6075} \approx 5.85$

3つの積の和を求めます。

$$a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p = 17.82 \times 9.29 + 17.82 \times 5.85 + 9.29 \times 5.85$$ $$\approx 165.5 + 104.2 + 54.3 = 324.0$$ $$A \approx 4\pi \left(\frac{324.0}{3}\right)^{1/1.6075} = 4\pi \times (108.0)^{0.6221} \approx 4\pi \times 18.40 \approx 231.3 \text{ cm}^2$$

この表面積の値は、例えば同じ寸法の模型を製作する際に必要な材料の量の見積もりに利用できます。

体積のスケール則

V = (4/3)πabc であるため、3つの半軸を k 倍にすると体積は k³ 倍になります。1つの半軸だけを変えた場合の影響を整理すると次のようになります。

変化	体積への影響
a のみ2倍	2倍
b のみ2倍	2倍
c のみ2倍	2倍
3軸すべて2倍	8倍
3軸すべて3倍	27倍

球では半径を2倍にすると体積が8倍になるのに対し、楕円体では1つの半軸を2倍にしても体積は2倍にしかならない点が特徴的です。

よくある質問 (FAQ)

楕円体の体積の公式は何ですか？

楕円体の体積は V = (4/3)πabc で求められます（a・b・c はそれぞれ x・y・z 方向の半軸）。例えば a = 3 cm、b = 2 cm、c = 1 cm の楕円体なら V = (4/3) × π × 3 × 2 × 1 = 8π ≈ 25.13 cm³ です。a = b = c = r のとき球の体積 V = (4/3)πr³ に一致します。

楕円体の表面積が近似値になるのはなぜですか？

球では各緯度での曲率の比率が一定なため表面積が 4πr² という閉じた式で表せますが、一般の三軸楕円体では曲率が点ごとに変化し、表面積の積分は第1種・第2種の不完全楕円積分に帰着します。これらは初等関数では表せないため、実用上は近似式が用いられます。最も精度の高い簡易式が、クヌード・トムセン近似 A ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p)（p = 1.6075）で、最大誤差は 1.061 % 以内です。球（a = b = c）では厳密に一致します。

扁球と長球の違いは何ですか？

2つの半軸が等しい楕円体を回転楕円体と呼びます。扁球（oblate spheroid）は2つの長い軸と1つの短い軸をもつ形（a = b > c）で、地球や押しつぶされた球がその例です。長球（prolate spheroid）は1つの長い軸と2つの短い軸をもつ形（a > b = c）で、ラグビーボールや卵がその例に当たります。どちらの場合も表面積は初等関数を用いた厳密な式で計算でき、一般の三軸楕円体（a ≠ b ≠ c）とは異なります。

クヌード・トムセン近似の精度はどの程度ですか？

クヌード・トムセン近似（p = 1.6075）は、任意の正の半軸の組み合わせに対して最大相対誤差が 1.061 % 未満です。球（a = b = c）では厳密値と完全に一致し、1 % 近くの誤差が生じるのは半軸比が極端な場合に限られます。工学・設計・生物学など多くの実用場面では誤差は 0.5 % を大きく下回ります。