最終更新: 2026-05-21

三角形と面積

三角形は3つの辺と3つの角を持つ多角形で、辺の数が最も少ない閉じた図形です。三角形の面積とは、3辺で囲まれた平面領域の広さを指します。本ツールでは、底辺と高さ・3辺（ヘロンの公式）・2辺とその夾角（SAS）・1辺と2角（ASA）の4つの方法で面積を求められます。

底辺と高さを使う方法

最も基本的な公式は次のとおりです。

$A = \frac{1}{2} \times b \times h$

ここで $b$ は底辺の長さ、$h$ は底辺から対頂点への垂直距離（高さ）です。

この公式はすべての三角形に適用できます。

• 鋭角三角形：垂線の足が底辺の内側に落ちます。
• 直角三角形：一方の直角を挟む辺が底辺、もう一方が高さになります。
• 鈍角三角形：垂線の足が底辺の外側に落ちますが、公式はそのまま成立します。

½ の由来

三角形は、同じ底辺と高さを持つ平行四辺形の正確に半分です。三角形を複製して180°回転させ、一辺を合わせると平行四辺形になります。平行四辺形の面積は $b \times h$ なので、三角形の面積はその半分になります。

ヘロンの公式

3辺の長さだけが分かっていて、高さや角度が不明な場合は、ヘロンの公式で面積を求められます。

$s = \frac{a + b + c}{2}$

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$s$ は半周長（周長の半分）です。この公式はアレクサンドリアのヘロン（紀元60年頃）に由来しますが、それ以前から知られていた証拠もあります。

計算例：3-4-5の直角三角形

$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$

$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$

底辺と高さの方法でも確認できます。辺3と辺4は直角に交わるので、$A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$。どちらも同じ結果です。

SAS：2辺とその夾角

2辺 $p$、$q$ とその間の角 $C$ が分かっている場合、面積は次の式で求められます。

$A = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C$

底辺と高さの公式から導かれます。$p$ を底辺とすると、高さは $q \sin C$（$q$ の $p$ への垂直成分）になります。

例： $p = 5$、$q = 7$、$C = 60°$ のとき

$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.16$

$C = 90°$ のとき $\sin 90° = 1$ となり、直角三角形の面積 $\frac{1}{2} p q$ に帰着します。

ASA：1辺と両端の2角

辺 $c$ とその両端の角 $A$、$B$ が分かっている場合、面積は次の式で求められます。

$A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)}$

正弦定理を用いて他の2辺を $c$ で表し、SASの公式に代入することで導かれます。第3の角は $C = 180° - A - B$ です。

例： $c = 8$、$A = 50°$、$B = 60°$（$C = 70°$）のとき

$A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22.6$

三角不等式

3つの正の数がすべて有効な三角形を形成できるわけではありません。辺 $a$、$b$、$c$ が三角形を形成するための条件は次のとおりです。

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

この3つの条件のうち一つでも満たさない場合、三角形は存在しません。ヘロンの公式では、この条件に違反すると平方根の中が負になり、幾何学的に不可能な入力であることがすぐに分かります。

辺の長さ	有効か	理由
3, 4, 5	有効	3+4=7 > 5 ✓
1, 2, 10	無効	1+2=3 < 10 ✗
5, 5, 5	有効	正三角形 ✓

実生活での応用

建築・土木：三角形のトラス構造は屋根・橋・クレーンの骨格です。三角形は荷重を受けても変形しない唯一の多角形であるため、構造的に極めて安定しています。

測量：土地の3辺をテープやレーザーで測定し、ヘロンの公式で面積を計算します。垂線を立てる必要がありません。

コンピューターグラフィックス：3Dの物体はすべて三角形の集合（メッシュ）で近似されます。GPUは三角形の面積を計算して照明・影・衝突判定を処理します。

ナビゲーション：三角測量では、3つの既知の参照点からの距離を使って未知の位置を特定します。

直角三角形で未知の辺を求めてから面積を計算したいときは ピタゴラスの定理の計算 が便利です。関連する図形については 円の面積・円周の計算 や 正多角形の計算 も参照してください。

よくある質問 (FAQ)

三角形の面積の公式は何ですか？

もっとも一般的な公式は S = ½ × 底辺 × 高さです。高さは底辺から対頂点への垂直距離です。底辺とその高さが分かれば、あらゆる三角形に適用できます。

ヘロンの公式とは何ですか？

ヘロンの公式は、高さを使わずに3辺の長さ a、b、c から三角形の面積を求める方法です。まず半周長 s = (a + b + c) ÷ 2 を計算し、S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) で面積を求めます。3-4-5 の直角三角形では s = 6、S = √(6×3×2×1) = 6 となります。

3辺の長さが三角形を形成しない場合はどんなときですか？

3辺が有効な三角形を形成するのは、どの2辺の和も残りの1辺より大きい場合（三角不等式）のみです。例えば辺が1、2、10では 1+2=3<10 となり三角形になりません。この条件に違反すると三角形は存在せず、ヘロンの公式で平方根の中が負の値になります。

2辺とその夾角から面積を求めるにはどうすればよいですか？

2辺 p、q とその間の角 C が分かっている場合、面積は S = ½ × p × q × sin(C) で求められます。例えば p=5、q=7、C=60° のとき、S = ½ × 5 × 7 × sin(60°) = ½ × 35 × (√3/2) ≈ 15.16 となります。これは三角形の高さが q × sin(C) で表せることから導かれます。

1辺と両端の2角から面積を求めるにはどうすればよいですか？

辺 c とその両端の角 A、B が分かっている場合（C = 180° − A − B）、面積は S = c² × sin(A) × sin(B) ÷ (2 × sin(A+B)) で求められます。例えば c=8、A=50°、B=60° のとき、A+B=110° なので S = 64 × sin(50°) × sin(60°) ÷ (2 × sin(110°)) ≈ 22.6 となります。