正多角形の計算

最終更新: 2026-05-18

正多角形とは

正多角形とは、すべての辺の長さが等しく、すべての内角が等しい多角形のことです。正三角形・正方形・正五角形・正六角形などがその代表例で、n ≥ 3 の整数について定義されます。辺の数 n と1辺の長さ a を決めると、面積・周長・各角度・内接円半径・外接円半径がすべて一意に定まります。

計算式

周長:

$P = n \cdot a$

内角（各頂点の角度）:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

外角（外側から見た角度、常に合計360°）:

$\beta = \frac{360°}{n}$

内接円半径（アポテム）— 中心から各辺の中点への垂直距離:

$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$

外接円半径（中心から各頂点までの距離）:

$R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}$

面積（周長と内接円半径を使った形が直感的）:

$A = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\pi/n)}$

内角の一覧

辺の数が増えるほど内角は180°に近づき、円に近い形になります。

辺の数	名称	内角
3	正三角形	60°
4	正方形	90°
5	正五角形	108°
6	正六角形	120°
8	正八角形	135°
12	正十二角形	150°

計算例

問題: 1辺が8 cmの正六角形のタイルについて、面積・アポテム・外接円半径を求めてください。

n = 6、a = 8 cm として計算します。

$\alpha = \frac{(6-2) \times 180°}{6} = 120°$

$r = \frac{8}{2 \tan(30°)} = \frac{8}{1.1547} \approx 6.928 \text{ cm}$

$R = \frac{8}{2 \sin(30°)} = \frac{8}{1} = 8 \text{ cm}$

$A = \frac{6 \times 64}{4 \tan(30°)} \approx 166.3 \text{ cm}^2$

正六角形の外接円半径は1辺の長さと等しくなる（R = a）という特性があります。ハニカム構造に正六角形が多用される理由のひとつは、この高い対称性にあります。

よくある質問 (FAQ)

正多角形の面積の公式は何ですか？

n辺の正多角形で1辺の長さがaのとき、面積はA = (n·a²) / (4·tan(π/n))で求められます。例えば、1辺10 cmの正六角形（n=6）の場合、A = (6 × 100) / (4 × tan(30°)) = 600 / (4 × 0.5774) ≈ 259.8 cm²となります。アポテム（内接円半径）を使う等価な公式としてA = ½ × 周の長さ × アポテム = ½ × n·a · rもよく利用されます。

正多角形の内角はどのように求めますか？

n辺の正多角形の内角はα = (n − 2) × 180° / nで計算できます。正三角形（n=3）は60°、正方形（n=4）は90°、正五角形（n=5）は108°、正六角形（n=6）は120°です。内角の補角にあたる外角は常に360°/nとなります。全内角の和は(n−2) × 180°です。

正多角形のアポテムとは何ですか？

アポテム（内接円半径とも呼ばれます）は、多角形の中心から各辺の中点までの垂直距離です。1辺の長さがaのn辺の正多角形では、アポテムr = a / (2·tan(π/n))で求まります。面積の計算にも利用できます：A = ½ × 周の長さ × アポテム。アポテムは内接する最大の円の半径でもあります。一方、外接円半径R = a / (2·sin(π/n))は中心から各頂点までの距離を表します。