最終更新: 2026-07-01

この計算ツールでできること

このツールは、要約統計量から一標本t検定を行います。標本平均・標準偏差・標本サイズを与えると、仮説上の母平均 $\mu_0$ と比較し、選んだ両側または片側の対立仮説に対して、t統計量・自由度・p値を求めます。

一標本t検定が答えること

ある工程が特定の平均値を生み出すはずだとします。たとえば充填重量50グラム、基準となる試験得点、規定の反応時間などです。標本を集めると、その平均はこの目標から少しずれます。ある程度のずれは偶然変動だけでも生じます。一標本t検定は明確な問いを立てます。真の母平均が本当に $\mu_0$ だとしたら、これほど離れた標本平均はどれほど珍しいのか? その答えがp値です。

t の式

t統計量は、標本平均 $\bar{x}$ と仮説上の平均 $\mu_0$ の差を標準誤差単位で測ります。

ここで $s$ は標本標準偏差、$n$ は標本サイズです。分母 $s/\sqrt{n}$ は平均の標準誤差で、標本が大きくなるほど小さくなります。したがって同じ差でもデータが多いほど説得力が増します。

自由度

参照分布は自由度

のスチューデントt分布です。標準偏差をデータ自身から推定することで自由度が1つ失われます。自由度が小さいほどt分布の裾は重くなり、小標本に対して検定は適切に慎重になります。$n$ が大きくなるとt分布は標準正規分布に近づきます。

p値とその読み方

$t$ と $df$ が定まると、p値は対立仮説によって決まります。$F_t$ をt分布の累積分布関数とすると:

• 両側（$\mu \ne \mu_0$）: $\;p = 2\left[1 - F_t(|t|,\, df)\right]$
• 右片側（$\mu > \mu_0$）: $\;p = 1 - F_t(t,\, df)$
• 左片側（$\mu < \mu_0$）: $\;p = F_t(t,\, df)$

p値は、データを見る前に選んだ有意水準 $\alpha$（慣例的に0.05）と比較します。

• p < α — 結果は統計的に有意であり、$\mu = \mu_0$ に反する証拠があります。
• p ≥ α — μ₀ を棄却するだけの十分な証拠はありません（平均がμ₀に等しいと証明したわけではありません）。

p値は帰無仮説が正しい確率ではなく、有意でない結果は「差がない」ことの証明でもありません。データが仮説上の平均とどれほど整合するかを測るだけです。

計算例

$n = 30$ の標本で、平均 $\bar{x} = 52$、標準偏差 $s = 5$ とします。両側対立仮説を用いて、仮説上の平均 $\mu_0 = 50$ と比較します。

$p \approx 0.037$ で0.05を下回るため、標本平均は5%水準で50と有意に異なります。あらかじめ右片側の対立仮説を指定していれば、p値は半分の $\approx 0.0183$ になります。

有意なp値は差が検出できることを示すだけで、それがデータのばらつきに対してどれほど大きいかは示しません。単なる可否の判定ではなく真の平均にもっともらしい値の幅を与えるには、信頼区間の計算 と組み合わせてください。

前提条件

一標本t検定はいくつかの条件に依存します。

• 独立性 — 観測値は母集団から独立に抽出されます。
• 近似的な正規性 — 母集団がほぼ正規であるか、標本が十分に大きく中心極限定理により平均の標本分布が近似的に正規になります。標本サイズが中程度で極端な歪みがなければ、検定はかなり頑健です。
• 標本から推定した標準偏差 — 正規分布ではなくt分布が正しい参照分布となる理由がまさにこれです。

1つの固定値ではなく2つの独立な群を比較する場合は、代わりに 2標本t検定 を使います。検定統計量がすでに標準化されたzの場合は、Z値からのp値の計算 が正規分布を用いてp値に変換します。