最終更新: 2026-06-05

点と直線の距離とは

座標平面上の点 P = (p_x, p_y) から直線 Ax + By + C = 0 までの距離とは、P から直線に下ろした垂線の長さです。点と直線を結ぶ無数の線分のうち最も短いものが垂線であり、その長さは次の公式で求められます。

$d = \frac{|Ap_x + Bp_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

分母は直線の法線ベクトル n = (A, B) の大きさであり、分子の代数的な「ずれ」を座標単位の幾何距離に変換する役割を担います。

公式の導き方

直線 Ax + By + C = 0 の法線ベクトルは n = (A, B) です。直線上の任意の点を Q = (x₀, y₀) とすると、Ax₀ + By₀ + C = 0 が成り立ちます。

ベクトル QP = (p_x − x₀, p_y − y₀) を単位法線ベクトル n̂ = (A, B) / |n| に射影すると、符号付き距離が得られます。

$\text{符号付き距離} = \frac{A(p_x - x_0) + B(p_y - y_0)}{|\mathbf{n}|} = \frac{Ap_x + Bp_y - (Ax_0 + By_0)}{|\mathbf{n}|}$

Q が直線上にあることから Ax₀ + By₀ = −C が成り立つため、

$\text{符号付き距離} = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

絶対値をとれば符号なしの幾何距離 d が求まります。符号は点 P が法線ベクトルの向きと同じ側にあるか逆側にあるかを示します。

垂線の足

垂線の足 F は、直線上で P に最も近い点です。パラメータ t = (Ap_x + Bp_y + C) / (A² + B²) を用いると、F の座標は次のように求められます。

$F_x = p_x - \frac{A(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}, \qquad F_y = p_y - \frac{B(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}$

F が直線上にあること（AF_x + BF_y + C = 0）と、線分 PF の長さが d に等しいことは代入によって確認できます。

計算例

問題： 点 P = (1, −2) から直線 3x − 4y + 5 = 0 までの距離を求め、垂線の足の座標を求めよ。

ステップ① — 分子と分母を計算する：

$Ap_x + Bp_y + C = 3 \cdot 1 + (-4)(-2) + 5 = 3 + 8 + 5 = 16$

$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

ステップ② — 距離を求める：

$d = \frac{|16|}{5} = 3.2$

ステップ③ — 垂線の足を求める：

$t = \frac{16}{25} = 0.64$

$F_x = 1 - 3 \times 0.64 = -0.92, \qquad F_y = -2 - (-4) \times 0.64 = 0.56$

検証： 3 × (−0.92) + (−4) × 0.56 + 5 = −2.76 − 2.24 + 5 = 0 ✓

点 P は直線から 3.2 の距離にあり、直線上の最近傍点は F = (−0.92, 0.56) です。

傾き切片形式からの変換

直線が y = mx + b の形で与えられている場合は、標準形に変換してから公式を適用します。

$y = mx + b \quad \Longrightarrow \quad mx - y + b = 0$

これより A = m、B = −1、C = b となります。例えば y = 2x − 3 は 2x − y − 3 = 0 と書き換えられ、A = 2、B = −1、C = −3 です。

なお、A、B、C を同じ定数で倍しても（例：方程式全体を 2 倍にしても）距離の値は変わりません。分子と分母が同じ倍率でスケールされ、比がキャンセルされるためです。

符号付き距離の意味

この計算機が表示する距離 d は常に 0 以上の値です。一方、絶対値を取る前の値 (Ap_x + Bp_y + C) / √(A² + B²) を符号付き距離といい、点が法線ベクトル n = (A, B) の向く側にあれば正、反対側にあれば負になります。

符号付き距離は、半平面の判定（点が直線のどちら側にあるか）やサポートベクターマシンの分類境界など、機械学習の文脈でも利用されます。

特殊なケース

• P が直線上にある場合： Ap_x + Bp_y + C = 0 となり、d = 0、F = P。
• 水平な直線（A = 0）： d = |Bp_y + C| / |B| に簡略化されます。
• 鉛直な直線（B = 0）： d = |Ap_x + C| / |A| に簡略化されます。
• 退化した方程式（A = B = 0）： C = 0 の場合はすべての点が方程式を満たし（直線でない）、C ≠ 0 の場合は解が存在しません。いずれも距離は定義されません。

ピタゴラスの定理との関係

導出は直角三角形として視覚化できます。P、垂線の足 F、および直線上の別の点 Q を頂点とする三角形を考えると、F に直角があります。斜辺 PQ に対して PQ² = PF² + FQ² が成り立ち、垂線 PF が直線上の任意の点との距離の中で最短であることが確認できます。

よくある質問 (FAQ)

点と直線の距離の公式はどのようなものですか？

直線 Ax + By + C = 0 と点 P = (p_x, p_y) に対して、垂線距離 d は d = |Ap_x + Bp_y + C| / √(A² + B²) で求められます。分子 Ap_x + Bp_y + C は点 P を直線方程式に代入したときの「ずれ」を表す符号付きの量であり、それを法線ベクトル (A, B) の大きさ √(A² + B²) で割ることで、真の幾何学的な距離に変換しています。

垂線の足の座標はどのように求めますか？

垂線の足 F は直線上で点 P に最も近い点です。まず t = (Ap_x + Bp_y + C) / (A² + B²) を計算し、F_x = p_x − A·t、F_y = p_y − B·t とします。得られた F が直線上にあること（AF_x + BF_y + C = 0）と、線分 PF の長さが距離 d と一致することで検証できます。

傾き切片形式 y = mx + b から標準形に変換するにはどうすればよいですか？

y = mx + b を変形すると mx − y + b = 0 となります。したがって A = m、B = −1、C = b です。例えば y = 2x − 3 は 2x − y − 3 = 0 と書け、A = 2、B = −1、C = −3 となります。A、B、C をすべて同じ定数倍しても直線は変わらず、分子と分母が同じ倍率でスケールされるため距離の値も変わりません。

なぜ √(A² + B²) で割るのですか？

直線 Ax + By + C = 0 の法線ベクトルは n = (A, B) で、その大きさは √(A² + B²) です。量 Ap_x + Bp_y + C は点 P から直線への「ずれ」を n の単位系で表したものであり、実際の座標単位ではありません。|n| で割ることで n の単位系から座標単位に変換し、真の垂線長さを得ます。直線が正規化されている（A² + B² = 1）場合は、この割り算が自明に 1 となります。