最終更新: 2026-07-02

楕円の焦点

標準的な位置にある楕円は次の式で表されます。

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

ここで $a$ は x 方向の半軸、$b$ は y 方向の半軸です。すべての楕円には内部に 2 つの特別な点、焦点があります。楕円上のどの点でも、2 つの焦点までの距離の和は一定です。2 本のピンにかけた糸の輪に鉛筆を引っかけてピンと張ったまま動かすと、その 2 本のピンを焦点とする楕円が描けます。

このツールは $a$ と $b$ から、焦点距離、焦点そのもの、離心率、頂点、そして長軸・短軸の長さを求めます。

半長軸と半短軸

2 つの軸のうち長い方を長軸、短い方を短軸といい、それぞれの半分が半軸です。式を向きによらない形にするため、大きい方の半軸を $A$、小さい方を $B$ とします。

$A = \max(a, b) \qquad B = \min(a, b)$

焦点はつねに長軸上にあります。$a > b$ なら長軸は横向き、$b > a$ なら縦向きです。

焦点距離

中心から各焦点までの距離 $c$ は半軸から求まります。

$c = \sqrt{A^2 - B^2}$

$A \ge B$ なので根号の中は負になりません。横長の楕円では焦点は $(\pm c, 0)$、縦長では $(0, \pm c)$ にあります。

離心率

離心率は楕円が円からどれだけ離れているかを表します。

$e = \frac{c}{A}$

つねに $0 \le e < 1$ です。$a = b$ のときは半軸が等しく $c = 0$、$e = 0$ で円になります。片方の軸が大きくなるにつれて $e$ は 1 に近づき、細長い楕円になります。

頂点と軸の長さ

頂点は長軸の端点で、中心から距離 $A$ の位置にあります。横長なら $(\pm A, 0)$、縦長なら $(0, \pm A)$ です。短軸の端点は共頂点と呼ばれます。軸の全長は次のとおりです。

$\text{長軸} = 2A \qquad \text{短軸} = 2B$

計算例

問題: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ の焦点、離心率、軸の長さを求めよ。

手順 1 — 半軸を読み取る: $a^2 = 25$ より $a = 5$、$b^2 = 9$ より $b = 3$。$a > b$ なので長軸は横向きで $A = 5$、$B = 3$。

手順 2 — 焦点距離:

$c = \sqrt{A^2 - B^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

手順 3 — 焦点: 横向きの長軸上、$(\pm 4, 0)$ にあり、$F_1 = (-4, 0)$、$F_2 = (4, 0)$。

手順 4 — 離心率:

$e = \frac{c}{A} = \frac{4}{5} = 0.8$

手順 5 — 頂点と軸: 頂点は $(\pm 5, 0)$、長軸 $2A = 10$、短軸 $2B = 6$。

よってこの楕円は焦点 $(-4, 0)$ と $(4, 0)$、離心率 $0.8$、長さ $10$ と $6$ の軸をもちます。

縦長の楕円

$b > a$ のときは幅より高さが大きく、長軸は縦向きになります。役割が入れ替わって $A = b$、$B = a$ となり、焦点は y 軸上の $(0, \pm c)$ に移ります。たとえば $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ は $A = 5$、$B = 3$ で $c = 4$ は同じですが、焦点は $(0, -4)$ と $(0, 4)$ になります。このツールは大きい方の半軸から向きを自動的に判定します。

距離の和が一定である理由

定義となる性質 $r_1 + r_2 = 2A$ は $c$ と直接つながっています。長軸上の頂点では、一方の焦点半径が $A + c$、もう一方が $A - c$ で、その和は $2A$ です。共頂点では対称性から 2 つの半径が等しく、それぞれ焦点から距離 $\sqrt{B^2 + c^2}$ になります。これを $A$ に等しいとおくと $A^2 = B^2 + c^2$ が得られ、$c = \sqrt{A^2 - B^2}$ に変形できます。この 1 つの関係式が焦点・軸・離心率を結びつけています。