最終更新: 2026-07-02

焦点・準線による放物線の定義

放物線とは、ある定点(焦点)からの距離と、ある定直線(準線)からの距離が等しいすべての点の集まりです。この一つの釣り合い条件が放物線の形を決めます。曲線の折り返し点である頂点は、焦点と準線のちょうど中間に位置します。

縦向き(上または下に開く)で頂点が $(h, k)$ の放物線の標準形は次のとおりです。

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

ここで $p$ は焦点距離、すなわち頂点から焦点までの符号付き距離です。ここから放物線のすべての特徴が導かれます。

$\text{焦点} = (h,\ k + p) \qquad \text{準線: } y = k - p \qquad \text{軸: } x = h$

このツールは、頂点に加えて $p$ または二次の係数 $a$ を受け取り、焦点・準線・対称軸・焦点距離・通径を、途中式付きで求めます。

焦点距離・焦点・準線

頂点は焦点と準線の中間にあるので、焦点と準線は頂点から同じ距離 $|p|$ だけ、反対側にあります。軸 $x = h$ に沿って頂点から $p$ 進むと焦点に、逆向きに $p$ 進むと準線に到達します。

$\text{焦点} = (h,\ k + p) \qquad \text{準線: } y = k - p$

$p$ の符号が放物線の開く向きを決めます。$p > 0$ なら上に開き焦点は頂点の上、$p < 0$ なら下に開き焦点は頂点の下にあります。

通径

通径とは、焦点を通り対称軸に垂直な弦、すなわち焦点の高さで測った放物線の「幅」です。その長さは次のとおりです。

$L = |4p|$

通径の端点は $(h - 2p,\ k + p)$ と $(h + 2p,\ k + p)$ で、焦点の高さに2点をすばやく取るのに便利です。

係数形

多くの教科書では縦向きの放物線を $y = a(x - h)^2 + k$ と書きます。これは同じ曲線を $y$ について解いただけです。標準形と比べると、二次の係数 $a$ と焦点距離 $p$ の関係が分かります。

$a = \frac{1}{4p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad p = \frac{1}{4a}$

$|a|$ が大きいほど焦点距離が短い狭い放物線に、$|a|$ が小さいほど焦点が頂点から遠い広い放物線になります。$a$ と $p$ は常に同じ符号なので、どちらを見ても開く向きが分かります。

計算例

問題: $(x - 1)^2 = 8(y + 2)$ の焦点・準線・対称軸・通径を求めよ。

手順1 — 頂点を読む。 $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ と比べると $h = 1$、$k = -2$ なので、頂点は $(1, -2)$ です。

手順2 — 焦点距離を求める。 右辺の係数は $4p = 8$ なので、

$p = \frac{8}{4} = 2$

手順3 — 焦点を求める。 頂点から軸に沿って $p = 2$ 上に進みます。

$\text{焦点} = (h,\ k + p) = (1,\ -2 + 2) = (1,\ 0)$

手順4 — 準線を求める。 逆向きに $p = 2$ 進みます。

$y = k - p = -2 - 2 = -4$

手順5 — 軸と通径。

$\text{軸: } x = h = 1 \qquad L = |4p| = |4 \cdot 2| = 8$

よってこの放物線は上に開き、焦点 $(1, 0)$、準線 $y = -4$、軸 $x = 1$、通径の長さ $8$ です。係数形では $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{8}$ なので、同じ曲線は $y = \tfrac{1}{8}(x - 1)^2 - 2$ と書けます。

グラフの見方

グラフは頂点 $V$、焦点 $F$、準線 $d$ をまとめて表示するので、定義の釣り合いが見て取れます。曲線上の任意の点をとると、その点から準線までの距離と焦点までの距離が等しくなります。頂点は常に $F$ と $d$ の中間にあり、図全体は軸 $x = h$ について線対称です。

注意と適用範囲

このツールは $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ の形の縦向きの放物線(上または下に開く)を扱います。左右に開く横向きの放物線 $(y - k)^2 = 4p(x - h)$ は $x$ と $y$ の役割が入れ替わり、軸が水平、焦点は $(h + p, k)$、準線は鉛直線 $x = h - p$ になります。焦点距離 $p$ は 0 以外でなければなりません。$p = 0$ では曲線が退化し、放物線は存在しません。

よくある質問 (FAQ)

放物線の焦点と準線とは何ですか。

放物線は、ある定点(焦点)からの距離と、ある定直線(準線)からの距離が等しい点の集まりです。曲線上のどの点も、焦点までの距離と準線までの距離がちょうど等しくなります。頂点 (h, k)、焦点距離 p の縦向きの放物線では、焦点は (h, k + p)、準線は直線 y = k − p であり、頂点は両者のちょうど中間にあります。

(x − h)² = 4p(y − k) から焦点と準線を求めるには。

式から頂点 (h, k) を直接読み取り、係数 4p から焦点距離 p を求めます。焦点は (h, k + p)、準線は y = k − p です。例えば (x − 1)² = 8(y + 2) では頂点 (1, −2)、4p = 8 より p = 2 なので、焦点は (1, 0)、準線は y = −4 です。

焦点距離 p と y = a(x − h)² + k の係数 a の関係は。

両者は同じ放物線を表します。(x − h)² = 4p(y − k) を y について解くと y = (1/(4p))(x − h)² + k となり、係数は a = 1/(4p) です。焦点距離について解くと p = 1/(4a) です。|a| が大きいほど幅の狭い放物線で焦点距離は短く、|a| が小さいほど幅が広く焦点は頂点から遠くなります。

放物線はどちらに開きますか。

縦向きの放物線 (x − h)² = 4p(y − k) では、p の符号で向きが決まります。p が正なら上に開き焦点は頂点の上、p が負なら下に開き焦点は頂点の下にあります。係数形 y = a(x − h)² + k でも a の符号が同じ役割を果たします。a と p は常に同じ符号だからです。