ベクトルの大きさの計算

最終更新: 2026-05-19

ベクトルの大きさとは

ベクトルの大きさとは、原点からベクトルの先端までの直線距離のことです。n次元ベクトル v = (v₁, v₂, …, vₙ) のユークリッドノルムは次の式で定義されます。

$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$

この計算機では、コンマ区切りの成分（例：2次元なら 3, 4、3次元なら 1, 2, 3）を入力すると、大きさ・次元数・同じ向きを持つ単位ベクトルをまとめて求めることができます。

公式の由来

この公式は三平方の定理（ピタゴラスの定理）をn次元に拡張したものです。2次元では、ベクトル (a, b) は直角三角形の斜辺を成すため $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ となります。3次元では、ベクトル (a, b, c) は直方体の体対角線に対応し $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ です。次元数がいくつであっても考え方は同じで、全成分の2乗を合計して平方根を取るだけです。

計算例

問題： ベクトル v = (3, 4, 12) の大きさと単位ベクトルを求めなさい。

ステップ1 — 各成分を2乗して合計する：

$3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169$

ステップ2 — 平方根を取る：

$|\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13$

ステップ3 — 各成分を大きさで割って単位ベクトルを求める：

$\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{3}{13},\ \frac{4}{13},\ \frac{12}{13}\right) \approx (0.230769,\ 0.307692,\ 0.923077)$

解釈： ベクトル (3, 4, 12) の長さは13です。単位ベクトルはその向きを表しており、「1単位進む間に横方向に3/13、上方向に4/13、奥行き方向に12/13だけ移動する向き」を示しています。

単位ベクトルとは

単位ベクトルとは大きさがちょうど1のベクトルです。元のベクトルの向きを保ったまま、大きさの情報を取り除いたものと考えられます。各成分を |v| で割ることで求められます。

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\ \frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\ \ldots,\ \frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right)$

単位ベクトルは「向きだけ」を表現したいときに使います。

• 物理： 力・速度の向き、面の法線方向
• 3Dグラフィックス： ライティング計算、カメラ姿勢
• 機械学習： コサイン類似度、特徴量の正規化
• 測量・ナビゲーション： 変位ベクトルから方位を求める

なお、零ベクトル（全成分が0）は大きさが0であるため単位ベクトルは定義できません。

その他のノルム

L²ノルム（ユークリッドノルム）が最も一般的ですが、用途に応じて以下のノルムも使われます。

ノルム	計算式	別名	主な用途
L¹	Σ |vᵢ|	マンハッタン距離・タクシー距離	スパース推定（LASSO）、格子上の距離
L²	$\sqrt{\sum v_i^2}$	ユークリッドノルム	幾何学、物理、コサイン類似度
L∞	max |vᵢ|	チェビシェフ距離	チェスの移動数、制御工学

この計算機はL²ノルム（ユークリッドノルム）を計算します。科学・工学における「ベクトルの長さ」は通常このノルムを指します。

主な活用場面

• 物理： 速度ベクトルの各成分から速さ（大きさ）を求める
• 3Dグラフィックス： ライティング計算の前に面法線ベクトルを正規化する
• データサイエンス： コサイン類似度検索の前に特徴ベクトルをL²正規化する
• ロボット工学： 関節変位ベクトルから手先の到達距離を求める
• 測量・GPS： (東方向, 北方向, 上方向) の変位から直線距離を計算する

成分の入力について

• 成分はコンマで区切って入力します：3, 4 や 1, 2, 3、0.5, -1.2, 0.8, 2.0 のように記述してください。
• 負の成分も問題ありません — 2乗するので符号は結果に影響しません。
• 小数の成分も使えます：1.5, 2.5 を入力すると |v| ≈ 2.915476 となります。
• 成分が1つだけ（例：5）の場合、大きさは5、単位ベクトルは (1) になります — これも公式の自然な帰結です。

よくある質問 (FAQ)

ベクトルの大きさとは何ですか？

ベクトルの大きさ（長さ・ノルムとも呼びます）は、原点からベクトルの先端までの直線距離です。n次元ベクトル v = (v₁, v₂, …, vₙ) の大きさは |v| = √(v₁² + v₂² + ⋯ + vₙ²) で求められます。これはユークリッドノルム（L²ノルム）と呼ばれ、三平方の定理を任意の次元数に拡張したものです。たとえば v = (3, 4) なら |v| = √(9 + 16) = 5 となります。

単位ベクトルはどうやって求めますか？

単位ベクトルとは、大きさがちょうど1で、元のベクトルと同じ向きを持つベクトルです。各成分をベクトルの大きさで割ることで求められます：v̂ = v / |v| = (v₁/|v|, v₂/|v|, …, vₙ/|v|)。単位ベクトルは「向きだけ」を表現したいときに使います。具体的には、物理の力の向き・3Dグラフィックスの法線ベクトル・機械学習のコサイン類似度計算などで活用されています。

3次元以上でも同じ公式が使えますか？

|v| = √(Σ vᵢ²) という公式は次元数に関わらず成り立ちます。3次元ベクトル (a, b, c) なら √(a² + b² + c²) — これは直方体の体対角線の長さに対応します。4次元以上は図形的に直感しにくいですが、計算の手順はまったく同じです。成分の2乗をすべて足し合わせて平方根を取るだけです。この計算機はコンマ区切りで何次元でも入力できます。

L¹ノルムやL∞ノルムとは何ですか？

ユークリッドノルム（L²）以外にも、よく使われるノルムがあります。L¹ノルム（マンハッタン距離）は各成分の絶対値の和：‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + ⋯。スパース推定（LASSO回帰）や格子状の経路距離に使われます。L∞ノルム（チェビシェフ距離）は成分の絶対値の最大値：‖v‖∞ = max(|v₁|, …, |vₙ|)。チェス盤上の移動距離や制御工学で登場します。一般に「ベクトルの長さ」といえばL²ノルム（ユークリッドノルム）を指します。