ホーム 数学 余弦定理の計算 余弦定理の計算 余弦定理で三角形の未知の辺（SAS）または3つの角度（SSS）を求めます。公式と計算手順を示します。 印刷 計算モード SAS — 辺 c を求める SSS — 角度を求める 入力 辺 a・b・c と角 A・B・C のラベルを付けた三角形下辺が a、右辺が b、左辺が c で、右下頂点に角 C、上頂点に角 A、左下頂点に角 B を示した三角形。ABCabcABC 辺 a 辺 b 挟角 C ° 0 – 180 ° 結果 辺 c a = 5b = 7C = 60^{\circ} 辺 c \begin{aligned} c &= \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C} \\ &= \sqrt{(5)^2 + (7)^2 - 2(5)(7)\cos(60)} \\ &= ? \end{aligned} 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-05-19 余弦定理とは 余弦定理（コサイン定理）は、三角形の3辺 a・b・c と、辺 c の対角 C の余弦を結びつける公式です。 c² = a² + b² − 2ab cos C この1本の式だけで、三角形を解く2つの典型問題に対応できます。 SAS（二辺夾角）： 2辺とその挟角がわかっている場合。余弦定理で第3辺 c を求めます。 SSS（三辺既知）： 3辺すべてがわかっている場合。式を3回変形して3つの角度をすべて求めます。 A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)) B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac)) C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab)) 計算例：SAS 土地の測量で、三角形の区画の2辺が 83 m と 112 m、その挟角が 54° とわかりました。第3辺の長さは？ a = 83、b = 112、C = 54° c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54° c² = 6 889 + 12 544 − 18 592 × 0.5878 c² ≈ 19 433 − 10 931 ≈ 8 502 c ≈ 92.2 m 計算例：SSS 庭の三角形の区画の3辺が 5 m・7 m・6 m です。各頂点の角度は？ A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44.4° B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78.5° C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57.1° 確認のため3角を合計すると 44.4° + 78.5° + 57.1° = 180° となり、内角の和の条件を満たします。 公式が成り立つ理由：ピタゴラスの定理との関係 ピタゴラスの定理の計算 （c² = a² + b²）は余弦定理の特殊ケースです。角 C がちょうど 90° のとき、cos 90° = 0 となり「2ab cos C」の項が消えて c² = a² + b² に戻ります。 その他の角度では： C < 90°（鋭角）のとき：cos C > 0 なので引き算の項が加わり c は短くなります。三角形が「閉じる」イメージです。 C > 90°（鈍角）のとき：cos C < 0 になるため項が足し算に変わり、c は直角三角形の場合より長くなります。 この直感は、ベクトルの内積（一方のベクトルが他方にどれだけ射影されるか）の定義から直接導かれます。 余弦定理と正弦定理の使い分け 与えられた情報使う公式2辺とその挟角（SAS）余弦定理3辺すべて（SSS）余弦定理2角と1辺（AAS / ASA）正弦定理2辺と非挟角（SSA）正弦定理（2解の曖昧さに注意） 正弦定理は「1辺とその対角のペア」が揃っている場合に計算が簡単です。一方、余弦定理には曖昧さがなく、SAS・SSS の状況で確実に一意の解が得られます。 三角不等式 3辺が三角形を作るには、どの辺も他の2辺の和より短い必要があります（三角不等式）。条件を満たさない場合（例：辺 1・2・10）、arccos の引数が [−1, 1] の範囲外になり計算不能です。計算機はこの場合にエラーを表示します。 確認方法：辺を昇順に並べ、短い2辺の和が最長辺より大きいかを確かめます。 計算機の使い方 SASモードでは「SAS — 辺 c を求める」を選択し、辺 a・b とその挟角 C（度単位）を入力すると、第3辺 c が表示されます。 SSSモードでは「SSS — 角度を求める」を選択し、3辺 a・b・c を入力すると、3つの角度 A・B・C が度単位で表示されます。測量・建築・ベクトル計算など、直角三角形に限らない一般の三角形を扱う場面で利用できます。 よくある質問 (FAQ)余弦定理とピタゴラスの定理はどう違いますか？余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C は、ピタゴラスの定理を直角三角形以外に拡張したものです。C = 90° のとき cos 90° = 0 となり、式は c² = a² + b² に戻ります。鋭角（C < 90°）では 2ab cos C が正になるため c は小さくなり、鈍角（C > 90°）では cos C が負になるため c は大きくなります。 余弦定理と正弦定理、どちらを使えばよいですか？2辺とその挟角（SAS）、または3辺（SSS）がわかっている場合は余弦定理を使います。正弦定理は「1辺とその対角のペア」が揃っている場合に計算が簡単ですが、SSA（2辺と非挟角）では解が2通り生じる曖昧さが残ります。余弦定理には曖昧さがなく、必ず一意の解が得られます。 SASモードでは何が求められますか？2辺 a・b とその挟角 C から、対辺 c を c = √(a² + b² − 2ab cos C) で求められます。例：a = 5、b = 7、C = 60° のとき c = √(25 + 49 − 35) = √39 ≈ 6.245。3辺がそろえば、今度は SSSモードに切り替えて残りの2角を計算できます。 入力した3辺が三角形を作れない場合はどうなりますか？3辺が三角形を成立させるには「三角不等式」—どの1辺も他の2辺の和より短い—を満たす必要があります。条件を満たさない場合（例：辺 1、2、10）、余弦定理の arccos の引数が [−1, 1] の範囲外となり計算できません。エラーメッセージが表示されます。確認方法：辺を短い順に並べ、短い2辺の和が最長辺より大きいかを確かめてください。 次のおすすめ ピタゴラスの定理の計算 ピタゴラスの定理（a² + b² = c²）を使って、直角三角形の任意の辺を計算します。2つの辺を入力すると、残りの1辺を求められます。 詳しく解説三角形の計算（SAS）― 2辺と夾角から全要素を求める 2辺の長さとその夾角を入力し、余弦定理で第三辺・残り2角・面積・外接円半径・内接円半径を計算します。 詳しく解説三角形の計算（SSS）― 3辺から全要素を求める 3辺の長さから余弦定理・ヘロンの公式を使って全角度・面積・半周長・外接円半径・内接円半径を一括計算します。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 三角法の他の計算 ベクトルの大きさの計算外積の計算（3次元ベクトル）逆三角関数の計算（arcsin・arccos・arctan）三角関数の計算（sin・cos・tan）正弦定理 — AAS（二角一辺）の計算余弦定理の計算 数学の他のカテゴリ 代数 2元連立一次方程式の解（クラメールの公式）一次方程式の計算（ax + b = c）三次方程式の解絶対値方程式の解（|ax + b| = c）多項式の定積分多項式の微分計算二次方程式の解判別式の計算平方完成の計算平面幾何 2点を通る直線の方程式2点間の距離計算ピタゴラスの定理の計算円の弦と弧の計算円の面積・円周の計算円環面積の計算円弧の長さの計算三角形の外接円の計算三角形の計算（ASA）― 1辺と2角から全要素を求める三角形の計算（SAS）― 2辺と夾角から全要素を求める三角形の計算（SSS）― 3辺から全要素を求める三角形の面積計算正三角形の計算正多角形の計算扇形の面積計算楕円の面積・周の長さの計算台形の面積計算中点計算ツール直角三角形の計算直角二等辺三角形（45-45-90）の計算直線の傾き計算ツール二等辺三角形の計算平行四辺形の面積計算立体幾何 トーラス体積の計算円錐の体積・表面積の計算円錐台（切頭円錐）の計算円柱の体積・表面積の計算球の体積・表面積の計算四角錐の体積・表面積の計算直方体の体積・表面積の計算立方体の計算 — 体積・表面積・対角線統計 Zスコア計算ツールピアソン相関係数の計算ツール加重平均の計算記述統計量計算ツール誤差率（百分率誤差）の計算信頼区間の計算分散・標準偏差の計算平均・中央値・最頻値の計算変動係数（CV）の計算確率 カード確率の計算サイコロ確率の計算階乗の計算（n!）順列の計算 — P(n, r)条件付き確率・ベイズの定理計算ツール正規分布計算ツール組み合わせの計算 — C(n, r)二項確率の計算数列・級数 フィボナッチ数列の計算等差数列の計算平均変化率計算ツール数論 ローマ数字変換ツール最大公約数・最小公倍数の計算指数表記（科学的記数法）変換器素因数分解の計算素数チェッカー対数の計算分数・パーセント パーセント計算比・比例の計算分数・小数・百分率の変換分数の四則演算 この計算機は役に立ちましたか？ 役に立った 改善が必要 改善が必要 どのような点が改善されると良いですか？ フィードバックを送信 Powered by OneCalc ↗
最終更新: 2026-05-19 余弦定理とは 余弦定理（コサイン定理）は、三角形の3辺 a・b・c と、辺 c の対角 C の余弦を結びつける公式です。 c² = a² + b² − 2ab cos C この1本の式だけで、三角形を解く2つの典型問題に対応できます。 SAS（二辺夾角）： 2辺とその挟角がわかっている場合。余弦定理で第3辺 c を求めます。 SSS（三辺既知）： 3辺すべてがわかっている場合。式を3回変形して3つの角度をすべて求めます。 A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)) B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac)) C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab)) 計算例：SAS 土地の測量で、三角形の区画の2辺が 83 m と 112 m、その挟角が 54° とわかりました。第3辺の長さは？ a = 83、b = 112、C = 54° c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54° c² = 6 889 + 12 544 − 18 592 × 0.5878 c² ≈ 19 433 − 10 931 ≈ 8 502 c ≈ 92.2 m 計算例：SSS 庭の三角形の区画の3辺が 5 m・7 m・6 m です。各頂点の角度は？ A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44.4° B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78.5° C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57.1° 確認のため3角を合計すると 44.4° + 78.5° + 57.1° = 180° となり、内角の和の条件を満たします。 公式が成り立つ理由：ピタゴラスの定理との関係 ピタゴラスの定理の計算 （c² = a² + b²）は余弦定理の特殊ケースです。角 C がちょうど 90° のとき、cos 90° = 0 となり「2ab cos C」の項が消えて c² = a² + b² に戻ります。 その他の角度では： C < 90°（鋭角）のとき：cos C > 0 なので引き算の項が加わり c は短くなります。三角形が「閉じる」イメージです。 C > 90°（鈍角）のとき：cos C < 0 になるため項が足し算に変わり、c は直角三角形の場合より長くなります。 この直感は、ベクトルの内積（一方のベクトルが他方にどれだけ射影されるか）の定義から直接導かれます。 余弦定理と正弦定理の使い分け 与えられた情報使う公式2辺とその挟角（SAS）余弦定理3辺すべて（SSS）余弦定理2角と1辺（AAS / ASA）正弦定理2辺と非挟角（SSA）正弦定理（2解の曖昧さに注意） 正弦定理は「1辺とその対角のペア」が揃っている場合に計算が簡単です。一方、余弦定理には曖昧さがなく、SAS・SSS の状況で確実に一意の解が得られます。 三角不等式 3辺が三角形を作るには、どの辺も他の2辺の和より短い必要があります（三角不等式）。条件を満たさない場合（例：辺 1・2・10）、arccos の引数が [−1, 1] の範囲外になり計算不能です。計算機はこの場合にエラーを表示します。 確認方法：辺を昇順に並べ、短い2辺の和が最長辺より大きいかを確かめます。 計算機の使い方 SASモードでは「SAS — 辺 c を求める」を選択し、辺 a・b とその挟角 C（度単位）を入力すると、第3辺 c が表示されます。 SSSモードでは「SSS — 角度を求める」を選択し、3辺 a・b・c を入力すると、3つの角度 A・B・C が度単位で表示されます。測量・建築・ベクトル計算など、直角三角形に限らない一般の三角形を扱う場面で利用できます。 よくある質問 (FAQ)余弦定理とピタゴラスの定理はどう違いますか？余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C は、ピタゴラスの定理を直角三角形以外に拡張したものです。C = 90° のとき cos 90° = 0 となり、式は c² = a² + b² に戻ります。鋭角（C < 90°）では 2ab cos C が正になるため c は小さくなり、鈍角（C > 90°）では cos C が負になるため c は大きくなります。 余弦定理と正弦定理、どちらを使えばよいですか？2辺とその挟角（SAS）、または3辺（SSS）がわかっている場合は余弦定理を使います。正弦定理は「1辺とその対角のペア」が揃っている場合に計算が簡単ですが、SSA（2辺と非挟角）では解が2通り生じる曖昧さが残ります。余弦定理には曖昧さがなく、必ず一意の解が得られます。 SASモードでは何が求められますか？2辺 a・b とその挟角 C から、対辺 c を c = √(a² + b² − 2ab cos C) で求められます。例：a = 5、b = 7、C = 60° のとき c = √(25 + 49 − 35) = √39 ≈ 6.245。3辺がそろえば、今度は SSSモードに切り替えて残りの2角を計算できます。 入力した3辺が三角形を作れない場合はどうなりますか？3辺が三角形を成立させるには「三角不等式」—どの1辺も他の2辺の和より短い—を満たす必要があります。条件を満たさない場合（例：辺 1、2、10）、余弦定理の arccos の引数が [−1, 1] の範囲外となり計算できません。エラーメッセージが表示されます。確認方法：辺を短い順に並べ、短い2辺の和が最長辺より大きいかを確かめてください。
