球の体積・表面積の計算

最終更新: 2026-05-18

球とは

球とは、空間内の一点（中心）から等しい距離にある点すべてが作る立体です。中心から表面までの距離を半径 r といい、球の大きさは半径だけで決まります。半径が分かれば、内部の空間の大きさである体積、外側を覆う表面積、そして中心を通る最長の弦である直径がすべて求められます。

公式

半径 r の球について、3つの量は次の式で表されます。

項目	公式
体積	V = (4/3)πr³
表面積	A = 4πr²
直径	d = 2r

体積は半径の3乗に、表面積は半径の2乗に比例します。直径は半径の2倍で、これが球の中を通る最長の直線になります。

(4/3)π の由来

体積の係数 (4/3)π はアルキメデス（紀元前約250年）にさかのぼります。彼は「球の体積は、同じ半径で高さ 2r の円柱の体積の 2/3 である」ことを証明しました。円柱の体積が πr² × 2r = 2πr³ なので、球の体積は (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³ となります。

現代の積分による導出では、球を中心を通る軸に沿って無数の円形断面に切り分け、各断面の面積 π(r² − x²) を足し合わせます。

V = ∫₋ᵣʳ π(r² − x²) dx = (4/3)πr³

計算例

例1 — サッカーボール

公式サッカーボールの円周は約 68.5 cm なので、半径は r = 68.5 / (2π) ≈ 10.9 cm です。

体積： V = (4/3) × π × (0.109)³ ≈ 0.00542 m³ ≈ 5.42 リットル 表面積： A = 4 × π × (0.109)² ≈ 0.149 m² ≈ 1490 cm²

例2 — 球形タンク

半径 2 m の球形タンクの容量は次のとおりです。

V = (4/3) × π × 8 ≈ 33.51 m³ ≈ 33,510 リットル

表面積 A = 4π × 4 ≈ 50.27 m² は、塗装や断熱材の必要量を見積もる際の基礎になります。

例3 — 体積から半径を逆算する

体積が分かっている場合は、公式を r について解いて半径を求められます。体積 1 m³ の球なら次のとおりです。

r = ∛(3V / (4π)) = ∛(3 / (4π)) ≈ 0.6204 m（約 62 cm）

半径の変化と体積・表面積のスケーリング

体積は r³ に、表面積は r² に比例するため、半径の変化はそれぞれ異なる倍率で効きます。

半径の倍率	体積の倍率	表面積の倍率
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

半径が 2 倍になると、表面積は 4 倍、体積は 8 倍になります。直径が 2 倍のバスケットボール（r ≈ 12 cm）とテニスボール（r ≈ 6 cm）を比べると、内部の体積は約 8 倍の差になります。

応用

球の体積・表面積の計算は、タンクや容器の容量設計、塗装・断熱材の必要量の見積もり、スポーツ用ボールや天体の大きさの比較など、球形を扱うあらゆる場面で使われます。実際の物体が完全な球からずれる場合は、近似値として扱う点に注意してください。

よくある質問 (FAQ)

球の体積の公式は？

球の体積は V = (4/3)πr³ で求められます（r：半径）。例えば r = 5 cm の球なら、V = (4/3) × π × 125 ≈ 523.6 cm³ です。この公式はアルキメデスが発見し、微積分でも同じ結果が導けます。

球の表面積の求め方は？

球の表面積は A = 4πr² で求められます。例えば r = 5 cm なら A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314.2 cm²。アルキメデスは「球の表面積は外接する円柱の側面積に等しい」ことを証明しました。

半径を2倍にすると体積はどうなる？

体積は半径の3乗に比例するため、半径を2倍にすると体積は 2³ = 8 倍になります。例えば r = 10 cm の球は r = 5 cm の球の8倍の体積を持ちます。半径を3倍にすれば 3³ = 27 倍です。

体積から半径を逆算するには？

V = (4/3)πr³ を r について解くと r = ∛(3V / (4π)) となります。例えば V = 1 m³ なら r = ∛(3 / (4π)) ≈ 0.6204 m です。