絶対値方程式の解（|ax + b| = c）

最終更新: 2026-05-19

絶対値方程式とは

絶対値方程式とは、未知数 $x$ を含む絶対値記号が等号の片側に現れる方程式のことです。ここでは次の標準形を扱います。

$$|ax + b| = c$$

$a$、$b$、$c$ は既知の実数（$a \neq 0$）、$x$ が求めたい未知数です。この計算機は係数を入力するだけで解を自動判定し、途中式もあわせて表示します。

絶対値の外し方

絶対値の定義から、$|A| = c$ は「$A = c$ または $A = -c$」と言い換えられます（$c \geq 0$ のとき）。この変換が絶対値方程式を解く出発点です。

$$ax + b = c \quad \text{または} \quad ax + b = -c$$

それぞれを $x$ について解くと（$a \neq 0$ のとき）：

$$x_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}$$

解の個数による場合分け

場合 1：c > 0 — 解が 2 つ

$c$ が正のとき、上の 2 式は一般に異なる値を与えます。どちらも元の方程式を満たします。

例題： $|2x - 3| = 7$ を解く。

$a = 2$、$b = -3$、$c = 7$ として代入します。

$$x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

検算： $|2 \times 5 - 3| = |7| = 7$ ✓、$|2 \times (-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓

場合 2：c = 0 — 解が 1 つ

$c = 0$ のとき、2 本の式 $ax + b = 0$ と $ax + b = 0$ は同一になります。解は 1 つです。

$$x_1 = x_2 = \frac{-b}{a}$$

例： $|2x - 4| = 0$ なら $x = 4 \div 2 = 2$。

場合 3：c < 0 — 実数解なし

絶対値は常に 0 以上（$|ax + b| \geq 0$）です。$c$ が負であれば「0 以上の量が負の数に等しい」という矛盾が生じ、解は存在しません。

例： $|2x - 3| = -5$ は実数解をもちません。

距離としての幾何学的意味

数直線上で $|u|$ は点 $u$ と原点の距離を表します。$u = ax + b$ と置けば、

$$|ax + b| = c$$

は「一次関数 $ax + b$ の出力値が原点からちょうど $c$ だけ離れる $x$ を求めよ」という問題になります。距離は対称なので、原点から $c$ 離れた点は $ax + b = \pm c$ の二か所あり、最大で二つの $x$ が存在します。

この距離の解釈は $c < 0$ で解なしになる理由も説明します。距離は負にならないので、たとえば $c = -5$ のように「距離が負の数に等しい」という状況はあり得ないからです。

a = 0 のとき

$a = 0$ だと $|b| = c$ という $x$ を含まない算術式になります。この計算機では $a = 0$ を無効な入力として扱い、エラーを表示します。

よくある質問 (FAQ)

絶対値方程式の解が2つになるのはなぜですか

|ax + b| = c は「ax + b の値が c か −c のどちらかである」という意味です。絶対値は距離を表すため、原点から c だけ離れた点は +c と −c の 2 か所あります。この 2 か所から ax + b = c と ax + b = −c の 2 本の一次方程式が生まれ、それぞれから x の値が 1 つずつ求まります。c > 0 のとき両者は異なる解を与え、合計 2 解になります。c = 0 のときは 2 本の式が一致して解も 1 つになります。

c が負のとき解が存在しないのはなぜですか

絶対値は必ず 0 以上の値をとります（|ax + b| ≥ 0）。これは定義そのもので、どんな実数 x を代入しても絶対値が負になることはありません。c < 0 は「0 以上の量が負の数に等しい」という矛盾した要求なので、方程式を満たす実数 x は存在しません。

|x| の幾何学的な意味は何ですか

数直線上で |x| は点 x と原点の距離を表します。一般に |ax + b| は、一次関数 ax + b の出力値と原点との距離です。|ax + b| = c という方程式は「一次関数 ax + b の値が原点からちょうど c だけ離れる x はどこか」と問うことになります。原点から c 離れた点は +c と −c の 2 点あるため、解は最大 2 つになります。c < 0 のときは「距離が負」というあり得ない状況なので解はありません。

絶対値不等式との違いは何ですか

絶対値方程式（|ax + b| = c）は「ちょうど c に等しくなる」x の値を求めるため、解は有限個（0 個・1 個・2 個）の点になります。絶対値不等式（|ax + b| < c や |ax + b| > c）は「c より小さい・大きい」範囲を求めるため、解は区間（または区間の和集合）になります。方程式の解は不等式の境界点に相当し、不等式の解の端点を調べることで絶対値方程式の解を確認することもできます。