等差数列の計算

最終更新: 2026-05-19

等差数列とは

等差数列とは、隣り合う項の差が常に一定な数列のことです。この一定の差を公差（d）と呼び、最初の項を初項（a₁）と呼びます。一般的に次のように並びます。

$$a_1,\quad a_1 + d,\quad a_1 + 2d,\quad a_1 + 3d,\quad \ldots$$

たとえば 3, 7, 11, 15, … は初項 3・公差 4 の等差数列です。第n項（aₙ）・初項からn項までの和（Sₙ）・平均値は、いずれも初項・公差・項数の 3 つの値から定まります。

第n項の公式

等差数列の第n項は次の式で求められます。

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

第1項から第n項まで進む間に、公差dをちょうど n−1 回加えるため、この式が成り立ちます。

初項5・公差3の数列（5, 8, 11, 14, …）の第20項を求めると次のようになります。

$$a_{20} = 5 + (20 - 1) \times 3 = 5 + 57 = 62$$

和の公式

初項から第n項までの和は次の式で求められます。

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

この式は、項を両端から組にする方法で導けます。最初の項と最後の項を足すと a₁ + aₙ になり、その内側の組（第2項と第n−1項、…）もすべて同じ値になります。たとえば 1 から 100 までの整数の和では、各組の和が一定です。

$$1 + 100 = 101,\quad 2 + 99 = 101,\quad 3 + 98 = 101,\quad \ldots$$

このようなペアが 100÷2 = 50 組できるため、和は 50 × 101 = 5050 になります。一般に、n/2 組のペアが a₁ + aₙ ずつ存在することから Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 が導かれます。

第n項を代入して展開すると、aₙ を求めずに和を計算できる形にもなります。

$$S_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n-1)d)}{2}$$

平均値

初項から第n項までの平均値は、最初と最後の項の中点に一致します。

$$\bar{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

これは各項が等間隔で並ぶ等差数列に特有の性質で、項の並びが初項と末項を結ぶ中点に対して対称になることから成り立ちます。

一次関数との関係

等差数列は「離散版の一次関数」です。項番号 n を横軸、項の値 aₙ を縦軸にプロットすると、すべての点が一直線上に並びます。

$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$

公差 d は直線の傾き、(a₁ − d) は切片に対応します。「等差数列 ↔ 一次関数」「等比数列 ↔ 指数関数」という対応関係が成り立ちます。

特殊なケース

条件	結果
d = 0	定数数列（すべての項が a₁）。Sₙ = n·a₁
d < 0	単調減少数列。やがて負の値になる
d が分数	問題なく使用可能。等間隔な小数の数列になる
n = 1	aₙ = a₁、S₁ = a₁、平均 = a₁

計算例（実践的な数値で）

月給20万円から始まり、毎月5,000円ずつ昇給する給与モデルを考えます（a₁ = 20、d = 0.5、単位：万円）。入社から12か月目の月給と、12か月分の累計支給額を求めます。

• a₁ = 20万円、d = 0.5万円、n = 12
• a₁₂ = 20 + (12 − 1) × 0.5 = 20 + 5.5 = 25.5万円
• S₁₂ = 12 × (20 + 25.5) ÷ 2 = 12 × 22.75 = 273万円（累計）
• 月平均給与 = 22.75万円

よくある質問 (FAQ)

等差数列のn番目の項はどう求めますか？

公式はaₙ = a₁ + (n − 1)·dです。a₁が初項、dが公差、nが何番目かを表します。例えば初項2・公差3の数列（2, 5, 8, 11, …）の第10項は 2 + (10 − 1)×3 = 29 となります。

等差数列の和の公式は？

初項から第n項までの和はSₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 で求められます。これは項を両端から組にする方法で導けます。最初の項と最後の項を足すと a₁ + aₙ になり、このペアがn/2組できます。第n項を展開するとSₙ = n·(2a₁ + (n − 1)d)/2 とも表せます。

等差数列と等比数列の違いは何ですか？

等差数列は各項に一定の値（公差d）を加えるので、グラフにすると直線状に並びます。等比数列は各項に一定の値（公比r）をかけるため、指数関数的に増減します。例として 2, 5, 8, 11 は等差数列（d = 3）、2, 6, 18, 54 は等比数列（r = 3）です。

公差は負の数や分数でも使えますか？

はい、公差dは任意の実数で構いません。dが負の場合は減少数列（例：10, 7, 4, 1, −2, …）になります。小数・分数も同様に使えます（例：d = 0.5 なら 1, 1.5, 2, 2.5, …）。d = 0 のときはすべての項が等しく、和はSₙ = n·a₁ になります。