二項確率の計算

最終更新: 2026-05-18

二項分布とは

二項分布は、独立した試行を一定回数繰り返したとき、成功する回数がどのように分布するかを表すモデルです。コインを10回投げたときの表の回数、製品100個を検査したときの不良品数、50人に対してアンケートを取ったときの賛成者数――いずれも「2つの結果しかなく、試行が独立している」条件を満たすため、二項分布で正確にモデル化できます。

公式

試行回数 $n$、成功回数 $k$、1回の成功確率 $p$ に対して：

組み合わせ数（$n$ 回中 $k$ 回を選ぶ場合の数）：

$$C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

ちょうど $k$ 回成功する確率：

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

累積確率（$k$ 回以下の確率）：

$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$$

$k$ 回以上の確率：

$$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$$

平均と標準偏差：

$$\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$$

計算例：コイン投げ

表が出る確率が $p = 0.5$ のコインを10回投げます。ちょうど3回表が出る確率は？

$$P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0.5^3 \times 0.5^7 = 120 \times \frac{1}{1024} \approx 0.117$$

約11.7%です。「3回以下」になる累積確率は：

$$P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} \approx 17.2\%$$

「3回以上」の確率は $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 56/1024 \approx 94.5\%$ になります。

正規近似

$n$ が大きくなると、二項分布は釣り鐘形（正規分布）に近づきます。次の条件を満たすとき、正規近似の精度が高くなります。

$$np \geq 5 \quad \text{かつ} \quad n(1-p) \geq 5$$

連続修正を加えると精度がさらに上がります： $P(X = k) \approx P(k - 0.5 < Z < k + 0.5)$（$Z$ は標準正規分布）。

$n = 10$、$p = 0.5$ では $np = 5$ で境界にあたります。$n = 100$ 以上になると近似精度が大きく向上します。

応用例

二項分布は、結果が成功・失敗の2通りで試行が独立しているあらゆる場面に適用できます。

品質管理： 不良品率1%の工場で部品200個を抜き取り検査するとき、不良品が3個以上見つかる確率は $n = 200$、$p = 0.01$ として $P(X \geq 3)$ で求められます。

医療・臨床試験： 奏効率70%の薬を20人の患者に投与して15人以上に効果が出る確率は、$n = 20$、$p = 0.7$ として $P(X \geq 15)$ で計算できます。

世論調査： 有権者の40%がある政策を支持しているとき、無作為に選んだ12人のうちちょうど5人が支持する確率は $n = 12$、$p = 0.4$ の二項分布から得られます。

よくある質問 (FAQ)

二項確率の計算式は？

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k) で求めます。C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) は n 回の試行のうち k 回を選ぶ組合せの数です。例として、コインを 10 回投げてちょうど 3 回表が出る確率を求めると、P = C(10,3) × 0.5³ × 0.5⁷ = 120 × (1/1024) ≈ 0.1172（約 11.7%）となります。

累積確率 P(X≤k) はどう計算しますか？

P(X ≤ k) は P(X=0) から P(X=k) までを合計した値です。コインを 10 回投げて表が 3 回以下になる確率は P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0.172 です。一方、k 回以上の確率は P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) で計算できます。

二項分布の平均と標準偏差は？

平均は μ = n × p、標準偏差は σ = √(np(1−p)) です。たとえば試行回数 10 回・成功確率 0.5 の場合、μ = 5、σ = √2.5 ≈ 1.58 となります。μ は期待される成功回数、σ はその値からどれだけばらつくかの目安です。

二項分布を正規分布で近似できるのはどんなとき？

np ≥ 5 かつ n(1−p) ≥ 5 の両方を満たすとき、二項分布は正規分布 N(μ, σ²) で近似できます。連続修正を加えると精度が上がり、P(X = k) ≈ P(k−0.5 < Z < k+0.5) と計算します。n = 10、p = 0.5 では np = 5 でちょうど境界ですが、n ≥ 30 であれば安定した近似が得られます。