円弧の長さの計算

最終更新: 2026-05-19

弧の長さとは

弧の長さ（弧長）は、円弧に沿って測った2点間の距離です。円の半径 r と中心角 θ の2つで決まります。機械設計・土木・建築のほか、高校数学の数学Ⅱ・数学Ⅲでも頻繁に登場します。

この計算機では、r と θ を入力すると次の3つをまとめて求めます。

• 弧の長さ s — 円弧に沿った曲線距離
• 弦の長さ c — 両端点を結ぶ直線距離
• 円周に対する割合 f — 弧が円全体の何分の何にあたるか

弧の長さの公式

$s = r \cdot \theta$

θ はラジアン（弧度法）で表した中心角です。1ラジアンは「半径と等しい長さの弧を切り取る角度」なので、θ ラジアンの弧は r × θ という直感的な式になります。

公式の導き方

円周全体は 2πr（中心角 2π rad のとき）。その θ/(2π) に相当する弧は：

$s = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$

「円周に対する割合」の出力 f = θ/(2π) はここから来ています。

度数法（°）で計算する場合

日常では角度を「°（度）」で表すことが多いですが、公式に代入するにはラジアンへの変換が必要です。

$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$

あるいは、次の形でそのまま使えます。

$s = 2\pi r \times \frac{\theta_{\text{deg}}}{360}$

例：半径 8 m、中心角 135°

• 変換：135° × π/180 = 3π/4 ≈ 2.356 rad
• 弧の長さ：s = 8 × 2.356 ≈ 18.85 m
• 円周に対する割合：135/360 = 0.375（円の 3/8）

この計算機は度のまま入力できるため、手動変換は不要です。

弦の長さ

弦は弧の両端点を結ぶ直線です。弧より常に短くなります（角度が限りなく小さくなると両者は一致します）。

$c = 2r \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$

計算例：半径 10 m、中心角 90°（π/2 rad）

求める量	式	値
弧の長さ s	10 × π/2	≈ 15.71 m
弦の長さ c	2 × 10 × sin 45°	= $10\sqrt{2} \approx$ 14.14 m
割合 f	90 / 360	= 0.25

この角度では弧が弦より約11%長くなっています。

特殊な角度での値

中心角	弧の長さ	弦の長さ	特徴
60°	πr/3	r	弦が半径に等しい（正三角形の辺）
90°	πr/2	$r\sqrt{2}$	四分の一円
180°	πr	2r	弦が直径に等しい
360°	2πr	0	全円周；両端点が一致

60° の弦が半径 r と等しくなるのは、半径6本で正六角形がちょうど描ける理由でもあります。

よくある質問 (FAQ)

弧の長さはどうやって求めますか？

弧の長さ s は s = r × θ（θはラジアン）で求めます。半径 5 m・中心角 2 ラジアンなら s = 5 × 2 = 10 m です。この公式はラジアンの定義（半径と等しい長さの弧を切り取る角度が1ラジアン）から直接導かれます。度数法で与えられた角度は θ_rad = θ_deg × π / 180 でラジアンに変換してから使います。

度数法（°）で弧の長さを計算する方法は？

角度を先にラジアンへ変換するか、s = 2πr × (θ° / 360) の式を直接使います。たとえば半径 10 m・中心角 90° なら s = 2π × 10 × (90/360) = 5π ≈ 15.71 m です。この計算機は度のまま入力できるので、手動変換は不要です。

弧の長さと弦の長さの違いは何ですか？

弧の長さ s = r × θ は円周上を通る曲線距離、弦の長さ c = 2r × sin(θ/2) は2端点を結ぶ直線距離です。弦は弧より常に短く（または等しく）なります。半径 10 m・中心角 90° の場合、弧 ≈ 15.71 m に対して弦 = 10√2 ≈ 14.14 m です。中心角が大きくなるほど差も広がり、180° では弦が直径（2r）に等しくなります。

弧の長さと円周はどのような関係にありますか？

円周 C = 2πr は中心角が 360°（2π rad）のときの弧の長さです。任意の弧は円周の一部で、s = C × (θ / 2π) と表せます。「円周に対する割合」の出力 f = θ / 2π がこれを直接示しており、f = 0.25 なら円の4分の1に相当します。