円の弦と弧の計算

最終更新: 2026-05-20

弓形の定義と計算量

弓形（きゅうけい）とは、円周上の1本の弦と、その弦が切り取る円弧とに挟まれた領域です。半径 r と中心角 θ が定まれば、弦の長さ・矢高（サジッタ）・弧の長さ・弓形の面積の4つが一意に決まります。

弓形とは

円はさまざまな方法で2つの領域に分割できます。代表的なものが次の2つです。

• 扇形 — 2本の半径と弧で囲まれた「パイの一切れ」のような領域。中心から外側に向かって切り取った形。
• 弓形 — 1本の弦とその弦が切り取る弧に挟まれた三日月状の領域。中心を通らずに直線で切り取った形。

1本の弦は常に円を2つの弓形に分けます。中心角 θ < π のとき、弧に近い小さいほうを劣弓形、大きいほうを優弓形といいます。θ = π になると弦は直径と一致し、2つの弓形は等しい半円になります。

矢高（サジッタ）とは

サジッタ（sagitta）はラテン語で「矢」を意味します。弦を弓弦に見立て、そこから弧の中点に向けて伸びる垂直距離を矢に見立てた言葉です。弓形の高さに相当します。

半径 r、中心角 θ（ラジアン）のとき：

$h = r\bigl(1 - \cos(\theta/2)\bigr)$

θ = π（半円）のときは矢高が半径と等しくなります。弦が直径になり、弧の中点が円の一番遠い点に到達するためです。θ が非常に小さいときは矢高もほぼゼロになり、θ = 2π（一回転）では矢高が 2r（直径）に近づきます。

公式一覧

すべての公式は θ をラジアンで表した場合のものです。計算機は度・グラジアン入力にも自動対応します。

求める量	公式
弦の長さ	$c = 2r\sin(\theta/2)$
矢高（サジッタ）	$h = r(1 - \cos(\theta/2))$
弧の長さ	$l = r\theta$
弓形の面積	$A = \tfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

弓形の面積公式の導き方

弓形の面積は「扇形から二等辺三角形を引いたもの」として導けます。

• 扇形の面積 = ½r²θ
• 三角形の面積 = ½r²sin θ（底辺 = 弦 = 2r sin(θ/2)、高さ = r cos(θ/2)、積 = r² sin(θ/2)cos(θ/2) = ½r²sin θ）
• 弓形の面積 = 扇形 − 三角形 = ½r²θ − ½r²sin θ = ½r²(θ − sin θ)

計算例

半径 r = 10 m の円に、中心角 θ = 90° を成す弦を引きます。

まずラジアンに変換します：θ = π/2 ≈ 1.5708 rad。

• 弦の長さ = 2 × 10 × sin(45°) = 20 × 0.7071 ≈ 14.14 m
• 矢高 = 10 × (1 − cos(45°)) = 10 × 0.2929 ≈ 2.93 m
• 弧の長さ = 10 × π/2 ≈ 15.71 m
• 弓形の面積 = ½ × 100 × (π/2 − 1) ≈ 50 × 0.5708 ≈ 28.54 m²

参考として、同じ円の面積は π × 100 ≈ 314.16 m² です。この 90° 弓形は円全体の約9.1%を占めています。

主な用途

弓形は、円弧と直線で区切られた形状を扱う場面で現れます。

• 建築では、アーチ状の窓やトンネル断面、橋梁のアーチの断面積の算出。
• 機械設計では、円筒タンクを横にしたときの液面より下の断面積（部分充填量）の計算。
• 光学では、レンズや反射面の形状を表すサジッタの寸法管理。
• 土木・測量では、曲線道路や河川の湾曲部に囲まれた面積の概算。

いずれの場合も、半径と中心角（または弦と矢高）が分かれば、上記の公式で各量を求められます。