三角形の外接円の計算

最終更新: 2026-05-20

三角形の外接円の定義

三角形の外接円（がいせつえん）は、その三角形の3つの頂点すべてを通る唯一の円です。外接円の半径 $R$ を外接円半径（外接半径）、その中心を外心（がいしん）と呼びます。この計算機は、3辺の長さ $a$、$b$、$c$ だけから $R$、外接円の面積、外接円の周長を求めます。

すべての三角形には必ず1つだけ外接円が存在します。これは四辺形などの多角形では一般には成り立たない、三角形固有の性質です。外接円は古典幾何学の中心的な概念であり、その半径は三角法・測量・天文学でも広く使われています。

外接円の半径の求め方

計算は、ヘロンの公式で三角形の面積を求め、そこから外接半径を導く3ステップです。

ステップ1 — 半周長を求める：

$s = \frac{a + b + c}{2}$

ステップ2 — 三角形の面積（ヘロンの公式）：

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ステップ3 — 外接円の半径：

$R = \frac{abc}{4S}$

計算例 — 辺が 5、12、13 の直角三角形：

$s = \frac{5+12+13}{2} = 15$

$S = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} = \sqrt{900} = 30$

$R = \frac{5 \times 12 \times 13}{4 \times 30} = \frac{780}{120} = 6.5$

斜辺が 13 の直角三角形なので、$R = 13 \div 2 = 6.5$ と一致します。外接円の面積は $\pi R^2 \approx 132.7$、外接円の周長は $2\pi R \approx 40.8$ です。

外心の位置

外心 $O$ は3頂点から等距離にある点で、幾何学的には3辺の垂直二等分線の交点として求められます。外心の位置は三角形の種類によって変わります。

三角形の種類	外心の位置
鋭角三角形（全角 < 90°）	三角形の内部
直角三角形（1角 = 90°）	斜辺の中点
鈍角三角形（1角 > 90°）	三角形の外部

直角三角形では、外心の位置は簡単に確認できます。辺が 3、4、5 のとき外心は辺 5 の中点にあり、$R = 5/2 = 2.5$ となります。公式 $R = abc/(4S) = 60/24 = 2.5$ とも一致します。

正弦定理との関係

外接円の半径は、正弦定理の拡張形によって各辺と各角の間に次の関係を持ちます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

これは、任意の辺をその対角の正弦で割った値が常に $2R$ に等しいことを示しています。直角三角形の場合、$C = 90°$ のとき $\sin C = 1$ なので $2R = c$、すなわち $R = c/2$ と説明できます。

外接円と内接円の比較

三角形には外接円のほかに、内接円（ないせつえん）も存在します。内接円は三角形の内側で3辺すべてに接し、その半径 $r$ は次の式で求められます。

$r = \frac{S}{s}$

この2つの半径には $R \geq 2r$ という不等式が成り立ちます。外接円の半径は常に内接円の半径の2倍以上であり、比率 $R/r$ がちょうど2になるのは正三角形のときだけです。5-12-13 の直角三角形では $R = 6.5$、$r = 30/15 = 2$ となり、$R/r = 3.25$（最小比率 2 を上回る）です。

外接円の半径 $R$ は三角形を外側から包む円の大きさを、内接円の半径 $r$ は三角形の内側に収まる円の大きさを表します。

三角不等式の確認

3辺が実際に三角形を作れるかどうかは、三角不等式で確認します。

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

この条件を一つでも満たさない場合、三角形は存在しません。たとえば辺が 1、2、10 のとき、$1 + 2 = 3 < 10$ となり三角不等式が成立しません。ヘロンの公式の根号の中が負になるため、$R$ は実数として定義できません。

よくある質問 (FAQ)

外接円の半径はどうやって求めますか？

外接円の半径 R は、三角形の3つの頂点をすべて通る唯一の円の半径です。3辺を a、b、c、三角形の面積を S とすると、R = abc ÷ (4S) で求められます。たとえば 3-4-5 の直角三角形では S = 6 なので、R = (3 × 4 × 5) ÷ (4 × 6) = 60 ÷ 24 = 2.5 となります。直角三角形では、外接円の半径は必ず斜辺の半分に等しくなります。

外心はどこにありますか？

外心 O は3頂点から等距離にある点で、3辺の垂直二等分線の交点です。三角形の種類によって位置が変わります。鋭角三角形では三角形の内部、直角三角形では斜辺の中点、鈍角三角形では三角形の外部（最長辺の延長側）に位置します。

外接円と内接円の違いは何ですか？

外接円は3頂点をすべて通り、半径は R = abc ÷ (4S) です。内接円は3辺の内側に接する円で、半径は r = S ÷ s（s は半周長 s = (a + b + c) ÷ 2）です。3-4-5 の直角三角形では R = 2.5、r = 1 となります。R ≥ 2r が常に成立し、外接円の半径は常に内接円の半径の2倍以上です。比率 R/r がちょうど2になるのは正三角形のときだけです。

外接円の半径と正弦定理の関係は何ですか？

正弦定理の拡張形として、a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R が成り立ちます。つまり外接円の半径は、任意の辺をその対角の正弦で割った値の半分です。たとえば a = 5、sin A = 0.6 のとき、R = 5 ÷ (2 × 0.6) ≒ 4.17 となります。直角三角形（90° の角、sin = 1）で R = 斜辺 ÷ 2 になる理由も、この公式で説明できます。