平方完成の計算

最終更新: 2026-05-20

平方完成とは何か

平方完成とは、二次式 $ax^2 + bx + c$ を頂点形式 $a(x - h)^2 + k$ に書き換える変換です。変換後の式からは頂点 $(h, k)$、対称軸 $x = h$、最大値または最小値 $k$ が一目で読み取れます。この計算機は係数を入力すると頂点形式を求め、途中式もあわせて表示します。

平方完成の手順

$ax^2 + bx + c$ を出発点として、次の 3 ステップで頂点形式を求めます。

ステップ 1 — h を求める（頂点の x 座標）：

$$h = -\frac{b}{2a}$$

ステップ 2 — k を求める（頂点の y 座標）：

$$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

ステップ 3 — 頂点形式で表す：

$$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$$

なぜこの式が成り立つか

最初の 2 項から $a$ をくくり出し、括弧内で平方完成を行います。

$$a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c$$

括弧の中に $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ を加えた分だけ外側で $\dfrac{b^2}{4a}$ を引くことで、式全体の値は変わりません。$h = -\dfrac{b}{2a}$、$k = c - \dfrac{b^2}{4a}$ と置き直すと $a(x - h)^2 + k$ になります。

計算例

$x^2 - 6x + 11$ を平方完成します。

$a = 1$、$b = -6$、$c = 11$ として代入します。

$$h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$$ $$k = 11 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 11 - 9 = 2$$ $$x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$$

検算： $(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$ ✓

頂点は $(3,, 2)$、対称軸は $x = 3$、最小値は $2$（$a = 1 > 0$ なので下に凸）。

頂点の意味と放物線の性質

性質	値
頂点	$(h,\, k)$
対称軸	$x = h$
最小値（$a > 0$ のとき）	$y = k$（$x = h$ で達成）
最大値（$a < 0$ のとき）	$y = k$（$x = h$ で達成）

$a > 0$ のとき放物線は上に開き（∪ 形）、頂点が最小点になります。$a < 0$ のとき放物線は下に開き（∩ 形）、頂点が最大点になります。$|a|$ の大きさが開き具合を決め、$|a|$ が大きいほど細く、小さいほど横に広がります。

解の公式との関係

平方完成は二次方程式の解の公式を導く基本的な手法でもあります。$ax^2 + bx + c = 0$ を頂点形式に変換して $x$ について解くと：

$$a(x - h)^2 + k = 0 \implies (x - h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x - h = \pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$$

$h = -\dfrac{b}{2a}$、$k = c - \dfrac{b^2}{4a}$ を代入して整理すると：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

これが解の公式です。平方完成はこの公式があらゆる二次方程式に対して成り立つことを証明しています。

平方完成が役立つ場面

• 頂点を求める — グラフを描かずに最大・最小値がわかる。
• 二次方程式を解く — 因数分解が難しいときの代替手法。
• 解の公式を導く — 高校数学の基本的な証明。
• 物理・工学への応用 — 放物運動や光学系（放物面鏡など）の解析。
• 積分の計算 — 有理関数の積分で平方完成が前処理として使われる（大学数学）。

よくある質問 (FAQ)

平方完成にはどのような利点がありますか？

平方完成によって ax² + bx + c を a(x − h)² + k という頂点形式に変換できます。この形にすると、頂点 (h, k) が一目で読み取れます。また、微分を使わずに放物線の最小値（または最大値）が k であること、対称軸が x = h であることが直接わかります。さらに、この変換は二次方程式の解の公式の最もすっきりした導出方法でもあり、関数の最大・最小問題や放物線のグラフ描画にも広く利用されます。

平方完成と解の公式はどのようにつながっていますか？

二次方程式の解の公式は、ax² + bx + c = 0 に平方完成を施すことで導出されます。両辺を a で割ると x² + (b/a)x + c/a = 0。x の係数の半分の 2 乗（b/(2a)）² を両辺に加えて完全平方式をつくると、(x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²) が得られます。両辺の平方根をとって x について解けば、x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) という解の公式が導かれます。

頂点 (h, k) は何を意味しますか？

頂点は放物線の折り返し点です。a > 0 のとき放物線は上に開き、頂点が最小点になります。つまり ax² + bx + c の最小値は k で、そのとき x = h です。a < 0 のとき放物線は下に開き、(h, k) が最大点になります。また x = h は放物線の対称軸であり、放物線はこの直線について線対称です。

a の符号で放物線の形はどう変わりますか？

a > 0 のとき放物線は上に開き（∪ 形）、頂点が最小点になります。a < 0 のとき放物線は下に開き（∩ 形）、頂点が最大点になります。|a| の大きさは開き具合を決めます。|a| が大きいほど放物線は細くなり、|a| が小さいほど横に広がります。a = 0 のときは一次式になり、平方完成は定義されません。