円錐台（切頭円錐）の計算

最終更新: 2026-05-20

円錐台とは

円錐台（えんすいだい）とは、直円錐の頂部を底面に平行な平面で切り取ってできる立体です。切頭円錐（せっとうえんすい）とも呼ばれます。下底（半径 R）と上底（半径 r）の2つの円形の面と、それらをつなぐ曲面（側面）で構成され、垂直方向の高さを h と表します。

バケツ・紙コップ・ランプシェード・ホッパー（漏斗）など、日常の多くの製品でこの形が使われています。

公式一覧

下底半径 R、上底半径 r、高さ h から、4つの量が求まります。

母線の長さ（側面上の斜め方向の距離）：

$l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}$

これは、半径の差 (R − r) と高さ h を2辺とする直角三角形に三平方の定理を適用したものです。

体積（大きな円錐から小さな円錐を引いた結果）：

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$

側面積（曲面のみ）：

$A_{\text{lat}} = \pi(R + r)\,l$

全表面積（側面 + 上下の底面）：

$A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + \pi R^2 + \pi r^2 = \pi(R + r)l + \pi(R^2 + r^2)$

体積公式の三つの項

体積の式に現れる (R² + Rr + r²) という因子は、大きな円錐から小さな円錐を引いた差を整理する過程で生じます。相似三角形の比率を使って錐体の全高 H を消去すると、次の差がこの3項に落ち着きます。

$V_{\text{台}} = \frac{\pi H}{3} R^2 - \frac{\pi (H - h)}{3} r^2$

3つの項 R²、Rr、r² はそれぞれ「下底の面積」「上下底の幾何平均面積」「上底の面積」に対応し、いずれも h/3 で重み付けした和として体積を構成します。

円錐台・円錐・円柱の関係

• r = 0 のとき：円錐台は通常の円錐に一致します。体積は V = πR²h/3、側面積は πRl に簡約されます。
• r = R のとき：円錐台は円柱に一致します。母線の長さ l = h、体積 V = πR²h、側面積 = 2πRh となります。

r を 0 や R に設定して公式が円錐・円柱の式と一致するかどうかは、計算結果の検算として利用できます。

計算例

スチール製のバケツが、上面の直径 30 cm（上底半径 r = 15 cm）、下面の直径 44 cm（下底半径 R = 22 cm）、高さ 28 cm とします。容量と必要な鉄板面積を求めます。

• R = 22 cm、r = 15 cm、h = 28 cm
• 母線：$l = \sqrt{(22 - 15)^2 + 28^2} = \sqrt{49 + 784} = \sqrt{833} \approx 28.86$ cm
• 体積：V = (π × 28/3) × (484 + 330 + 225) = (π × 28/3) × 1039 ≈ 30,507 cm³ ≈ 30.5 リットル
• 側面積：A_lat = π × (22 + 15) × 28.86 = π × 37 × 28.86 ≈ 3,355 cm²
• 全表面積：A_tot = 3,355 + π × 484 + π × 225 ≈ 3,355 + 1,520 + 707 ≈ 5,582 cm²（約 0.56 m²）

この計算から、バケツの製作には約 0.56 m² の鉄板が必要とわかります（溶接のつなぎしろは別途加算）。

実用例

• バケツ・容器の設計 — 容量を確認しつつ、側面積から必要な素材の量を割り出します。
• ランプシェード — テーパー（傾斜）のある傘の側面積が、生地の裁断量の目安になります。
• 工業用ホッパー・サイロ — 粉粒体の投入口によく使われる円錐台形状の容量を求めます。
• 建築・インテリア — 切頭円錐形の屋根や装飾柱の材料計算に役立ちます。
• 宇宙ロケット — ロケット外殻の段間部分（円柱とノーズコーンをつなぐ部位）はしばしば円錐台としてモデル化されます。

よくある質問 (FAQ)

円錐台とはどんな形？

円錐台（えんすいだい）とは、直円錐の頂部を底面に平行な平面で切り取ってできる立体です。下底（半径 R）と上底（半径 r）の2つの円形の面と、その間をつなぐ曲面（側面）で構成されます。バケツ・紙コップ・ランプシェード・漏斗など、日常にあふれている形です。r = 0 のときは円錐、r = R のときは円柱に一致します。

円錐台の体積の公式は？

円錐台の体積は V = (πh/3)(R² + Rr + r²) で求められます（R：下底半径、r：上底半径、h：高さ）。この公式は「大きな円錐から小さな円錐を引く」操作を整理した結果です。例えば R = 5 cm、r = 3 cm、h = 8 cm なら、V = (π × 8/3) × (25 + 15 + 9) ≈ 410.5 cm³ です。

上底半径と下底半径が同じだと何になる？

上底半径 r と下底半径 R が等しいとき、円錐台は円柱になります。体積の公式は V = πR²h に、側面積は 2πRh に、母線の長さは h にそれぞれ簡約されます。「r = R に設定して円柱の公式と一致するか」は計算の検算として使えます。

円錐台の母線の長さの求め方は？

母線の長さ l は、下底の縁から対応する上底の縁までの側面上の直線距離です。三平方の定理を使って l = √((R − r)² + h²) で求まります。例えば R = 5 cm、r = 3 cm、h = 8 cm なら l = √((5 − 3)² + 8²) = √(4 + 64) = √68 ≈ 8.246 cm です。