外積の計算（3次元ベクトル）

最終更新: 2026-05-26

外積とは

3次元ベクトル a と b の外積 a × b は、両方に直交する第3のベクトル c です。その大きさは |a||b|sin θ（θ は2つのベクトルのなす角）で、向きは右手の法則によって決まります。

公式

外積は次の3×3行列式で定義されます。

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\,\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\,\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,\mathbf{k}$$

余因子展開で整理すると、3つのスカラー成分が得られます。

$$c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2, \quad c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3, \quad c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1$$

外積ベクトルの大きさ（および a と b が張る平行四辺形の面積）は次のように求まります。

$$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2}$$

右手の法則

外積の向きは右手の法則によって決まります。右手の4本の指を a の向きに伸ばし、小さい方の角を通るように b の向きへ曲げると、親指が a × b の向きを指します。

この規則から、外積は**反交換律（交代律）**を満たすことがわかります。

$\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$

順序を入れ替えると向きが反転するため、計算では因子の順序が結果の符号を左右します。

計算例

a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6) として計算します。

$$c_1 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3$$ $$c_2 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6$$ $$c_3 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3$$

よって a × b = (−3, 6, −3)。大きさは次のとおりです。

$$\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348$$

この値が a と b を隣辺とする平行四辺形の面積にもなります。

幾何学的な意味

|a × b| は a と b を隣辺とする平行四辺形の面積です。この値を半分にすると、2つのベクトルが作る三角形の面積になります。3Dコンピュータグラフィックスでは、頂点座標から面積や法線を求める際にこの関係が活用されています。

2つのベクトルが平行なとき sin θ = 0 となり、a × b = 0 になります。辺ベクトルの外積が零ベクトルかどうかで、3点が一直線上にある（共線）かどうかを判定できます。

外積が3次元（と7次元）にしか定義されない理由

行列式を使って「2つのベクトルに直交する1本のベクトル」を求めるには、ちょうど3次元であることが必要です。2次元では第3軸がなく、4次元以上では2ベクトルに直交する方向が複数存在するため、唯一の直交ベクトルは定まりません。7次元では八元数を用いた一般化外積が定義できますが、物理・工学・コンピュータグラフィックスで使われるのは3次元外積がほとんどです。

主な応用場面

外積は、直交する軸や面積が必要な場面で広く使われます。

• トルク：τ = r × F（r は力点から支点へのベクトル、F は力）
• 角運動量：L = r × p
• 面法線：3Dレンダリングでは、三角形ポリゴンの2辺ベクトルの外積が面の法線ベクトルになる
• ローレンツ力：F = q(v × B)（荷電粒子が磁場から受ける力）
• 三角形の面積：2辺ベクトルの外積の大きさの半分

よくある質問 (FAQ)

外積はベクトルとして何を表していますか？

外積 a × b は、a と b の両方に直交する新しいベクトルです。その向きは右手の法則で決まり、大きさは |a||b|sin θ（θ は a と b のなす角）になります。幾何学的には、この大きさは a と b を隣辺とする平行四辺形の面積に等しくなります。a × b = 0 であれば、2つのベクトルは平行（または一方が零ベクトル）です。

右手の法則とはどのような規則ですか？

右手の4本の指を a の向きに向け、そのまま b の向き（小さい方の角を通るように）へ曲げると、親指が a × b の向きを指します。外積は反交換律（交代律）を満たすため、順序を入れ替えると b × a = −(a × b) となり、向きが反転します。この非可換性により、因子の順序が外積の符号を左右します。

外積はなぜ3次元（と7次元）にしか定義されないのですか？

行列式を使って2つのベクトルに直交する「1本のベクトル」を作るには、ちょうど3次元であることが必要です。2次元では第3軸がなく、4次元以上では2ベクトルに直交する方向が1次元を超えるため、「唯一の直交ベクトル」が存在しません。7次元では八元数（オクトニオン）の代数を使った一般化外積が定義できますが、物理・工学・コンピュータグラフィックスで使われるのは3次元外積がほとんどです。

外積が零ベクトルになるのはどのような場合ですか？

a × b = 0 になるのは、2つのベクトルが平行（逆向きを含む）な場合、または少なくとも一方が零ベクトルの場合です。このとき sin θ = 0 となるため、大きさ |a||b|sin θ = 0 となります。平行なベクトルは面積のある平行四辺形を張ることができず、平行四辺形が直線に縮退した状態です。この性質を利用すると、外積が零かどうかで共線性の判定ができます。