立方体の計算 — 体積・表面積・対角線

最終更新: 2026-05-19

立方体とは

立方体は、6つの合同な正方形の面で囲まれた立体です。すべての辺の長さが等しく、すべての角が直角になります。直方体のうち縦・横・高さがすべて等しい特別な形であり、一辺の長さ s が決まれば、体積・表面積・面対角線・空間対角線・全辺長の合計といった寸法はすべて一意に定まります。

計算式

一辺の長さを s とすると：

求める量	計算式	意味
体積	V = s³	立方体の内側の空間
表面積	A = 6s²	6面の合計面積
面対角線	$d_f = s\sqrt{2}$	1面の正方形の対角線
空間対角線	$d_s = s\sqrt{3}$	対角頂点を結ぶ内部の直線
全辺長の合計	L = 12s	12本の辺の長さの合計

表面積が6s²になる理由

立方体には同じ大きさの正方形の面が6つあり、各面の面積はs²です。これを6枚分合計するとA = 6s²になります。s = 10 cmのとき：A = 6 × 100 = 600 cm²。

面対角線の導き方

各面は一辺sの正方形です。正方形の対角線はピタゴラスの定理から：

$d_f = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$

s = 10 cmのとき：$d_f = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ cm。

空間対角線の導き方

空間対角線は立方体の対角にある頂点を直線で結ぶもので、3次元のピタゴラスの定理を使います。まず面対角線d_fを求め、それを底辺、辺sを高さとして斜辺を計算します：

$d_s = \sqrt{d_f^2 + s^2} = \sqrt{2s^2 + s^2} = \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

s = 10 cmのとき：$d_s = 10\sqrt{3} \approx 17.32$ cm。面対角線より常に長くなります（$\sqrt{3} > \sqrt{2}$）。

直方体との関係

立方体はl = w = h = sの直方体です。直方体の公式にl = w = h = sを代入すると：

• V = l·w·h → s·s·s = s³
• A = 2(lw + lh + wh) → 2(s² + s² + s²) = 6s²
• 空間対角線 = $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2} \to \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

辺の長さと体積・表面積の関係

体積はs³に比例するため、辺の長さが変わると体積はその3乗で変化します。

辺の倍率	体積の倍率	表面積の倍率
2倍	8倍	4倍
3倍	27倍	9倍
1/2倍	1/8倍	1/4倍

一辺20 cmの段ボール箱は、一辺10 cmの箱の8倍の容量を持ちます。見た目は2倍の大きさでも、容量は8倍です。

計算例

例1 — 角氷

一般的な製氷機の角氷はs ≈ 2.5 cm（0.025 m）程度です。

体積： V = 0.025³ = 0.000015625 m³ = 15.625 cm³ ≈ 15.6 mL
表面積： A = 6 × 0.025² = 0.00375 m² = 37.5 cm²
空間対角線： $d_s = 0.025 \times \sqrt{3} \approx 0.043$ m ≈ 4.33 cm

例2 — 段ボール箱

一辺30 cmの立方体の箱の場合：

体積： V = 30³ = 27,000 cm³ = 27 L
表面積： A = 6 × 900 = 5,400 cm²（段ボールの使用量）
全辺長の合計： L = 12 × 30 = 360 cm（テープを貼る全辺の長さ）

例3 — 体積から一辺を求める

体積が1,000 cm³（= 1 L）とわかっている場合、一辺の長さは：

s = ∛V = ∛1000 = 10 cm

体積が8 m³なら：s = ∛8 = 2 m。

よくある質問 (FAQ)

立方体の空間対角線の長さはどうやって求めますか？

一辺の長さをsとすると、空間対角線の長さはd = s√3で求められます。立方体の対角で正反対の頂点を結ぶ線で、体の中心を通ります。たとえばs = 10 cmの立方体では、空間対角線は10√3 ≈ 17.32 cmになります。

面対角線と空間対角線の違いは何ですか？

面対角線は1つの正方形の面の内側にある対角線で、長さはs√2です。空間対角線は立方体の内部を通り、対角にある頂点を結ぶ線で、長さはs√3です。s = 10 cmの場合、面対角線は約14.14 cm、空間対角線は約17.32 cmになります。

立方体の体積から一辺の長さを求めるには？

V = s³を変形してs = ∛Vで求めます。たとえば体積が1,000 cm³なら、s = ∛1000 = 10 cmです。体積が0.001 m³（＝1 L）の場合も同様に10 cmとなります。

立方体の表面積がなぜ6s²になるのですか？

立方体には同じ大きさの正方形の面が6つあり、各面の面積はs²です。6面分を合計するとA = 6s²になります。たとえばs = 5 cmのとき、A = 6 × 25 = 150 cm²です。