三次方程式の解

最終更新: 2026-05-26

三次方程式とは

三次方程式とは、最高次数が3の多項式方程式です。

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0)$$

実数係数の三次方程式は、3つの実数解（重解を含む）をもつか、1つの実数解と2つの複素共役解をもつかのどちらかです。実数解がまったく存在しないことはありません。連続関数のグラフは $x \to +\infty$ と $x \to -\infty$ で符号が逆になるため、中間値の定理により必ず $x$ 軸を少なくとも1回横切るからです。

低次化三次式への変換

三次方程式を解く標準的な手順は、まず $x^2$ の項を消去することから始まります。$x = t - \dfrac{b}{3a}$ と置換すると、元の方程式は低次化三次式に変換されます。

$$t^3 + pt + q = 0$$

係数 $p$ と $q$ は元の係数 $a, b, c, d$ から次のように求めます。

$$p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \qquad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}$$

低次化三次式の解 $t_1, t_2, t_3$ が求まれば、元の解は $x_k = t_k - \dfrac{b}{3a}$ で復元できます。

判別式

解の個数と種類を決定する量が判別式です。

$$\Delta = -4p^3 - 27q^2$$

• $\Delta > 0$：3つの異なる実数解 — 三角関数法を使います。
• $\Delta = 0$：少なくとも2つの解が重なります（すべて実数）— 三角関数法で重解を正しく求められます。
• $\Delta < 0$：実数解1つと複素共役解2つ — カルダーノの公式を使います。

カルダーノの公式（$\Delta < 0$ の場合）

$\Delta < 0$ のとき $C = \dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27} > 0$ となり、以下の立方根はいずれも実数です。

$$u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{C}}, \qquad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{C}}$$

低次化三次式 $t^3 + pt + q = 0$ の3解は次のとおりです。

$$t_1 = u + v, \qquad t_{2,3} = -\frac{u+v}{2} \pm \frac{(u-v)\sqrt{3}}{2}\,i$$

元の方程式の解は $x_1 = u + v - \dfrac{b}{3a}$、複素共役対は $\alpha \pm \beta i$（$\alpha = -\dfrac{u+v}{2} - \dfrac{b}{3a}$、$\beta = \dfrac{(u-v)\sqrt{3}}{2}$）となります。

計算例： $x^3 + x - 2 = 0$ を解きます。

$a = 1, b = 0, c = 1, d = -2$ より $p = 1, q = -2, \Delta = -112 < 0$。

$$C = \frac{4}{4} + \frac{1}{27} = \frac{28}{27}$$ $$u = \sqrt[3]{1 + \sqrt{\tfrac{28}{27}}} \approx 1.2638, \qquad v = \sqrt[3]{1 - \sqrt{\tfrac{28}{27}}} \approx -0.2638$$ $$x_1 = 1.000, \qquad x_{2,3} \approx -0.500 \pm 1.323\,i$$

検証：$(x-1)(x^2+x+2) = x^3+x-2$ ✓

三角関数法（$\Delta \geq 0$ の場合）

$\Delta \geq 0$ のとき $C \leq 0$ となり、カルダーノの公式では $\sqrt{C}$ が虚数になります。3つの解がすべて実数であるにもかかわらず、計算の途中で複素数を経由しなければならないこの状況を casus irreducibilis（不可約な場合）といいます。

三角関数法はこれを完全に回避します。$r = \sqrt{-p/3}$（$\Delta \geq 0$ のとき $p \leq 0$ なので実数）、$\theta = \dfrac{1}{3}\arccos\!\left(\dfrac{-q}{2r^3}\right)$ とおくと、3解は次の式で得られます。

$$t_k = 2r\cos\!\left(\theta - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2$$

角度間隔 $\dfrac{2\pi}{3}$ は1の3乗根の構造に由来します。計算は終始実数の範囲にとどまります。

計算例： $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ を解きます（既定値の例）。

$a = 1, b = -6, c = 11, d = -6$ より $p = -1, q = 0, \Delta = 4 > 0$。

$$r = \frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad \theta = \frac{1}{3}\arccos(0) = \frac{\pi}{6}$$ $$t_0 = 1, \quad t_1 = 0, \quad t_2 = -1$$

シフト $h = -6/3 = -2$ を戻すと $x = t + 2$ より、$x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 1$。

検証：$(x-1)(x-2)(x-3) = x^3-6x^2+11x-6$ ✓

歴史的背景

三次方程式の解の公式は、1515年頃にシピオーネ・デル・フェッロが発見し、1545年にジェロラモ・カルダーノが著書 Ars Magna で公表しました。これは二次方程式の解の公式を超えた最初の重要な代数的成果であり、数学史上の転換点となりました。カルダーノはニコロ・タルターリャから秘密の誓いのもとで公式を入手したとされており、その後の公表をめぐる論争はよく知られています。

casus irreducibilis の発見は、数学者が複素数を真剣に扱う契機となりました。ラファエル・ボンベッリ（1572年）は複素数の中間値を一貫して扱い、それらが打ち消し合って正しい実数解を与えることを初めて検証した人物です。

三次方程式が現れる場面

工学 — 座屈荷重、振動周波数、たわみ曲線などの特性方程式はしばしば三次式になります。制御系の極も、複素周波数変数 $s$ の三次（または四次）多項式の解として現れます。

コンピュータグラフィックス — 三次ベジェ曲線は $t \in [0,1]$ の三次式でパラメータ化されており、曲線が特定の $y$ 値を通る点を求めるには三次方程式を解く必要があります。

流体力学 — ファン・デル・ワールスの状態方程式 $(P + a/V_m^2)(V_m - b) = RT$ はモル体積 $V_m$ について三次式です。臨界温度以下では3つの解が液相・スピノーダル・気相に対応します。

財務数学 — 3期間のキャッシュフローに対する内部収益率（IRR）の計算や一部のデリバティブ評価モデルでは三次方程式が生じることがあります。

よくある質問 (FAQ)

三次方程式の解の公式はなぜ二次方程式より複雑なのですか

二次方程式の解の公式は判別式を計算して平方根を1回とるだけです。三次方程式では、まず x² の項を消去して低次化三次式に変換し、その後に判別式の正負に応じて三角関数法またはカルダーノの立方根公式を選ぶ必要があります。放物線の対称軸のような単純な幾何的対称性がないため、操作の手順が多くなります。5次以上の方程式については、アーベルの不可能定理により、四則演算と冪根だけで解く一般公式が存在しないことが証明されています。

カズス・イレドゥキビリスとは何ですか

casus irreducibilis（不可約な場合）とは、三次方程式が3つの実数解をもつにもかかわらず、カルダーノの公式を使うと途中で複素数を経由せざるを得ない状況を指します。判別式 Δ > 0 のとき、立方根の中身が負になるため、カルダーノの経路をたどると複素数の立方根が現れます。三角関数法はこれを回避し、余弦だけで解を直接表現するため、計算の全過程を実数のまま進めることができます。本計算機では Δ ≥ 0 の場合に必ず三角関数法を使用します。

三次方程式には必ず実数解が存在しますか

はい、必ず少なくとも1つの実数解があります。実数係数の奇数次多項式は、x → +∞ で +∞、x → −∞ で −∞（a > 0 の場合）に発散するため、中間値の定理によりグラフは必ず x 軸を横切ります。三次方程式の実数解の個数は、Δ < 0 のとき1個、Δ ≥ 0 のとき3個（重解を含む）であり、実数解がまったく存在しないことはありません。

計算結果の精度はどの程度ですか

本計算機は12桁の十進高精度演算（mathjs BigNumber）を使用しており、解は小数点以下6桁で表示します。係数の大きさが近い良条件な入力では、相対誤差は通常 10⁻⁸ 以下です。解が互いに非常に近い場合（Δ ≈ 0 付近）や係数のオーダーが大きく異なる場合は、b³ − 9abc の引き算でけた落ちが生じ精度が低下することがあります。重解の場合（Δ ≈ 0）は三角関数法を使用し、境界条件を適切に処理します。